Номер 13.5, страница 160 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

13.5. а) Точка $O$ — центр правильного $n$-угольника $A_1A_2...A_n$.

Угол $A_1OA_4$ равен $27^\circ$. Найдите сторону этого $n$-угольника, если его периметр равен 40 см.

б) Точка $O$ — центр правильного $n$-угольника $A_1A_2...A_n$.

Угол $A_1A_2O$ равен $85^\circ$. Найдите периметр этого $n$-угольника, если его сторона равна 1,5 см.

а)

Пусть $A_1A_2...A_n$ — правильный $n$-угольник с центром в точке $O$. Центральный угол, опирающийся на одну сторону правильного $n$-угольника (например, $\angle A_1OA_2$), вычисляется по формуле $\frac{360^\circ}{n}$.

Угол $\angle A_1OA_4$ составлен из трех таких центральных углов, опирающихся на стороны $A_1A_2$, $A_2A_3$ и $A_3A_4$. Поскольку многоугольник правильный, все эти углы равны между собой.

Следовательно, можно записать: $\angle A_1OA_4 = \angle A_1OA_2 + \angle A_2OA_3 + \angle A_3OA_4 = 3 \cdot \frac{360^\circ}{n}$.

Из условия известно, что $\angle A_1OA_4 = 27^\circ$. Составим и решим уравнение относительно $n$: $3 \cdot \frac{360^\circ}{n} = 27^\circ$

$\frac{360}{n} = \frac{27}{3}$
$\frac{360}{n} = 9$
$n = \frac{360}{9} = 40$.

Итак, данный многоугольник является правильным 40-угольником.

Периметр $P$ правильного $n$-угольника равен произведению числа сторон $n$ на длину одной стороны $a$: $P = n \cdot a$.

По условию $P = 40$ см, а мы нашли, что $n = 40$. Подставим эти значения в формулу периметра, чтобы найти сторону $a$: $40 \text{ см} = 40 \cdot a$

$a = \frac{40}{40} = 1$ см.

Ответ: 1 см.

б)

Рассмотрим треугольник $\triangle A_1OA_2$, образованный двумя вершинами многоугольника и его центром. Так как точка $O$ — центр правильного многоугольника, отрезки $OA_1$ и $OA_2$ являются радиусами описанной окружности, а значит, $OA_1 = OA_2$. Следовательно, треугольник $\triangle A_1OA_2$ — равнобедренный с основанием $A_1A_2$.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: $\angle OA_1A_2 = \angle OA_2A_1$. В условии дан угол $\angle A_1A_2O$, который равен $\angle OA_2A_1$.

По условию $\angle A_1A_2O = 85^\circ$. Значит, $\angle OA_1A_2 = \angle OA_2A_1 = 85^\circ$.

Сумма углов любого треугольника равна $180^\circ$. Для $\triangle A_1OA_2$ получаем: $\angle A_1OA_2 + \angle OA_1A_2 + \angle OA_2A_1 = 180^\circ$
$\angle A_1OA_2 + 85^\circ + 85^\circ = 180^\circ$
$\angle A_1OA_2 + 170^\circ = 180^\circ$
$\angle A_1OA_2 = 180^\circ - 170^\circ = 10^\circ$.

Угол $\angle A_1OA_2$ — это центральный угол правильного $n$-угольника, который находится по формуле $\frac{360^\circ}{n}$.

Приравняем найденное значение угла к формуле, чтобы найти число сторон $n$: $\frac{360^\circ}{n} = 10^\circ$

$n = \frac{360}{10} = 36$.

Значит, многоугольник является правильным 36-угольником.

Периметр $P$ правильного $n$-угольника со стороной $a$ вычисляется как $P = n \cdot a$.

По условию длина стороны $a = 1,5$ см. Мы определили, что $n = 36$. Найдем периметр: $P = 36 \cdot 1,5 = 54$ см.

Ответ: 54 см.