Номер 13.6, страница 160 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

13.6. a) $B_1 B_2 \ldots B_8$ — правильный восьмиугольник со стороной $a$.

Найдите площадь треугольника $B_1 B_2 B_3$.

б) $B_1 B_2 \ldots B_8$ — правильный восьмиугольник со стороной $a$.

Найдите площадь четырехугольника $B_1 B_2 B_3 B_4$.

а)

Треугольник $B_1B_2B_3$ является равнобедренным, так как его стороны $B_1B_2$ и $B_2B_3$ — это стороны правильного восьмиугольника, и их длина равна $a$. То есть, $|B_1B_2| = |B_2B_3| = a$.

Угол между этими сторонами, $\angle B_1B_2B_3$, является внутренним углом правильного восьмиугольника. Величина внутреннего угла правильного n-угольника вычисляется по формуле $\frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n}$.

Для правильного восьмиугольника ($n=8$) внутренний угол равен: $ \angle B_1B_2B_3 = \frac{(8-2) \cdot 180^\circ}{8} = \frac{6 \cdot 180^\circ}{8} = 135^\circ $

Площадь треугольника можно найти по формуле, использующей две стороны и угол между ними: $S = \frac{1}{2}ab\sin\gamma$.

$ S_{\triangle B_1B_2B_3} = \frac{1}{2} |B_1B_2| \cdot |B_2B_3| \cdot \sin(\angle B_1B_2B_3) = \frac{1}{2} a \cdot a \cdot \sin(135^\circ) $

Значение синуса $135^\circ$ равно $\sin(135^\circ) = \sin(180^\circ - 45^\circ) = \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Подставляем значение в формулу площади: $ S_{\triangle B_1B_2B_3} = \frac{1}{2} a^2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{a^2\sqrt{2}}{4} $

Ответ: $\frac{a^2\sqrt{2}}{4}$.

б)

Рассмотрим четырехугольник $B_1B_2B_3B_4$. Докажем, что он является равнобедренной трапецией.

Правильный восьмиугольник — симметричная фигура. Проведем ось симметрии через центр описанной окружности и середину стороны $B_2B_3$. При симметрии относительно этой оси вершина $B_1$ переходит в вершину $B_4$, а вершина $B_2$ — в $B_3$. Это означает, что четырехугольник $B_1B_2B_3B_4$ симметричен, его боковые стороны равны ($|B_1B_2| = |B_4B_3| = a$), а основания $B_2B_3$ и $B_1B_4$ параллельны. Следовательно, $B_1B_2B_3B_4$ — равнобедренная трапеция.

Площадь трапеции вычисляется по формуле $S = \frac{b_1+b_2}{2}h$, где $b_1$ и $b_2$ — длины оснований, а $h$ — высота.

1. Найдём длины оснований.
Длина первого основания: $|B_2B_3| = a$.
Для нахождения длины второго основания $|B_1B_4|$ воспользуемся свойствами описанной окружности. Пусть $R$ — радиус окружности, описанной около восьмиугольника. Свяжем $R$ и $a$. В равнобедренном треугольнике $B_1OB_2$ (где $O$ — центр окружности) угол при вершине $\angle B_1OB_2 = \frac{360^\circ}{8} = 45^\circ$. По теореме косинусов: $ a^2 = R^2 + R^2 - 2R^2\cos(45^\circ) = 2R^2(1-\frac{\sqrt{2}}{2}) = R^2(2-\sqrt{2}) $.
Диагональ $B_1B_4$ стягивает дугу, равную трем сторонам, поэтому центральный угол $\angle B_1OB_4 = 3 \cdot 45^\circ = 135^\circ$. По теореме косинусов для $\triangle B_1OB_4$: $ |B_1B_4|^2 = R^2 + R^2 - 2R^2\cos(135^\circ) = 2R^2(1-(-\frac{\sqrt{2}}{2})) = R^2(2+\sqrt{2}) $.
Подставим выражение для $R^2 = \frac{a^2}{2-\sqrt{2}}$: $ |B_1B_4|^2 = \frac{a^2}{2-\sqrt{2}}(2+\sqrt{2}) = \frac{a^2(2+\sqrt{2})^2}{(2-\sqrt{2})(2+\sqrt{2})} = \frac{a^2(2+\sqrt{2})^2}{4-2} = \frac{a^2(4+4\sqrt{2}+2)}{2} = a^2(3+2\sqrt{2}) $.
Заметим, что $3+2\sqrt{2} = 1 + 2\sqrt{2} + 2 = (1+\sqrt{2})^2$. $ |B_1B_4|^2 = a^2(1+\sqrt{2})^2 $, следовательно, $|B_1B_4| = a(1+\sqrt{2})$.

2. Найдём высоту трапеции.
Высоту $h$ можно найти, опустив перпендикуляр из вершины $B_2$ на основание $B_1B_4$. Тогда $h = |B_1B_2|\sin(\angle B_2B_1B_4) = a \sin(\angle B_2B_1B_4)$.
Найдем угол $\angle B_2B_1B_4$. В равнобедренном $\triangle B_1OB_2$ угол при основании $\angle OB_1B_2 = \frac{180^\circ-45^\circ}{2} = 67.5^\circ$. В равнобедренном $\triangle B_1OB_4$ угол при основании $\angle OB_1B_4 = \frac{180^\circ-135^\circ}{2} = 22.5^\circ$.
Тогда искомый угол $\angle B_2B_1B_4 = \angle OB_1B_2 - \angle OB_1B_4 = 67.5^\circ - 22.5^\circ = 45^\circ$.
Высота трапеции: $h = a \sin(45^\circ) = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

3. Вычислим площадь трапеции.
$ S_{B_1B_2B_3B_4} = \frac{|B_2B_3| + |B_1B_4|}{2} h = \frac{a + a(1+\sqrt{2})}{2} \cdot \frac{a\sqrt{2}}{2} $
$ S = \frac{a(2+\sqrt{2})}{2} \cdot \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{a^2(2\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2)}{4} = \frac{a^2(2\sqrt{2}+2)}{4} = \frac{2a^2(\sqrt{2}+1)}{4} = \frac{a^2(1+\sqrt{2})}{2} $

Ответ: $\frac{a^2(1+\sqrt{2})}{2}$.