Номер 13.13, страница 162 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

13.13. а) Правильный 12-угольник $A_1A_2...A_{12}$ вписан в окружность радиусом 3,5. Найдите площадь треугольника $A_1A_2A_7$.

б) Правильный 12-угольник $A_1A_2...A_{12}$ вписан в окружность радиусом 6. Найдите площадь четырехугольника $A_1A_2A_3A_8$.

а)

Пусть $O$ - центр окружности, в которую вписан правильный 12-угольник $A_1A_2...A_{12}$. Радиус окружности $R=3,5$. Вершины 12-угольника делят окружность на 12 равных дуг. Центральный угол, соответствующий каждой стороне 12-угольника (например, стороне $A_1A_2$), равен $\frac{360^\circ}{12} = 30^\circ$. Найдем центральные углы, образованные вершинами треугольника $A_1A_2A_7$ и центром окружности $O$:

• Угол $\angle A_1OA_2$ соответствует одной стороне 12-угольника, поэтому $\angle A_1OA_2 = 30^\circ$.
• Угол $\angle A_7OA_1$ соответствует дуге $A_7A_1$, которая стягивает $12-7+1=6$ сторон 12-угольника. Поэтому $\angle A_7OA_1 = 6 \times 30^\circ = 180^\circ$.

Поскольку угол $\angle A_7OA_1 = 180^\circ$, точки $A_1$, $O$ и $A_7$ лежат на одной прямой. Это означает, что отрезок $A_1A_7$ является диаметром окружности. Треугольник $A_1A_2A_7$ вписан в окружность, и одна из его сторон ($A_1A_7$) является диаметром. Следовательно, треугольник $A_1A_2A_7$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $A_2$ ($\angle A_1A_2A_7 = 90^\circ$). Площадь треугольника можно вычислить по формуле "половина произведения основания на высоту".

Примем за основание треугольника диаметр $A_1A_7$. Длина основания равна $2R = 2 \times 3,5 = 7$. Высотой, проведенной к этому основанию, будет перпендикуляр из вершины $A_2$ на прямую $A_1A_7$. Длину этой высоты $h$ можно найти из треугольника $A_1OA_2$. Рассмотрим равнобедренный треугольник $OA_1A_2$ со сторонами $OA_1 = OA_2 = R = 3,5$ и углом $\angle A_1OA_2 = 30^\circ$. Высота из вершины $A_2$ на прямую $OA_1$ (которая является частью прямой $A_1A_7$) равна $h = |OA_2| \sin(\angle A_1OA_2) = R \sin(30^\circ)$.$h = 3,5 \times \frac{1}{2} = 1,75$. Площадь треугольника $A_1A_2A_7$ равна:$S = \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота} = \frac{1}{2} \times |A_1A_7| \times h = \frac{1}{2} \times (2R) \times (R \sin(30^\circ)) = R^2 \sin(30^\circ) = R^2 \cdot \frac{1}{2} = \frac{R^2}{2}$. Подставим значение радиуса $R=3,5$:$S = \frac{(3,5)^2}{2} = \frac{(7/2)^2}{2} = \frac{49/4}{2} = \frac{49}{8} = 6,125$.

Ответ: $6,125$.

б)

Пусть $O$ - центр окружности, в которую вписан правильный 12-угольник $A_1A_2...A_{12}$. Радиус окружности $R=6$. Центральный угол, соответствующий каждой стороне 12-угольника, равен $\frac{360^\circ}{12} = 30^\circ$. Вершины четырехугольника $A_1A_2A_3A_8$ лежат на окружности. Найдем центральные углы, образованные лучами, проведенными из центра $O$ к вершинам четырехугольника, взятым последовательно:

• Угол $\angle A_1OA_2$ соответствует одной стороне 12-угольника, $\angle A_1OA_2 = 1 \times 30^\circ = 30^\circ$.
• Угол $\angle A_2OA_3$ соответствует одной стороне 12-угольника, $\angle A_2OA_3 = 1 \times 30^\circ = 30^\circ$.
• Угол $\angle A_3OA_8$ соответствует дуге $A_3A_8$, которая стягивает $8-3=5$ сторон 12-угольника, $\angle A_3OA_8 = 5 \times 30^\circ = 150^\circ$.
• Угол $\angle A_8OA_1$ соответствует дуге $A_8A_1$, которая стягивает $12-8+1=5$ сторон 12-угольника, $\angle A_8OA_1 = 5 \times 30^\circ = 150^\circ$.

Сумма этих углов равна $30^\circ + 30^\circ + 150^\circ + 150^\circ = 360^\circ$. Это означает, что центр окружности $O$ находится внутри четырехугольника $A_1A_2A_3A_8$. Следовательно, площадь этого четырехугольника равна сумме площадей четырех треугольников, на которые он разбивается отрезками, соединяющими его вершины с центром окружности:$S_{A_1A_2A_3A_8} = S_{\triangle OA_1A_2} + S_{\triangle OA_2A_3} + S_{\triangle OA_3A_8} + S_{\triangle OA_8A_1}$. Площадь треугольника, образованного двумя радиусами и хордой, вычисляется по формуле $S_{\triangle} = \frac{1}{2}R^2\sin\alpha$, где $\alpha$ - угол между радиусами.

$S_{\triangle OA_1A_2} = \frac{1}{2}R^2\sin(\angle A_1OA_2) = \frac{1}{2}R^2\sin(30^\circ)$.
$S_{\triangle OA_2A_3} = \frac{1}{2}R^2\sin(\angle A_2OA_3) = \frac{1}{2}R^2\sin(30^\circ)$.
$S_{\triangle OA_3A_8} = \frac{1}{2}R^2\sin(\angle A_3OA_8) = \frac{1}{2}R^2\sin(150^\circ)$.
$S_{\triangle OA_8A_1} = \frac{1}{2}R^2\sin(\angle A_8OA_1) = \frac{1}{2}R^2\sin(150^\circ)$.

Так как $\sin(150^\circ) = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin(30^\circ)$, все четыре площади равны.$\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$.$S_{A_1A_2A_3A_8} = \frac{1}{2}R^2\sin(30^\circ) + \frac{1}{2}R^2\sin(30^\circ) + \frac{1}{2}R^2\sin(30^\circ) + \frac{1}{2}R^2\sin(30^\circ) = 4 \times \frac{1}{2}R^2\sin(30^\circ) = 2R^2\sin(30^\circ)$.$S_{A_1A_2A_3A_8} = 2R^2 \times \frac{1}{2} = R^2$. Подставим значение радиуса $R=6$:$S = 6^2 = 36$.

Ответ: $36$.