Номер 13.7, страница 160 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

13.7.

a)Сторона правильного пятиугольника $A_1A_2A_3A_4A_5$ равна 4 см. Диагонали $A_1A_4$ и $A_2A_5$ пересекаются в точке $P$. Найдите длину отрезка $A_1P$.

б)Сторона правильного пятиугольника $A_1A_2A_3A_4A_5$ равна 2 см. Диагонали $A_1A_4$ и $A_2A_5$ пересекаются в точке $P$. Найдите длину отрезка $A_5P$.

а)

Пусть $A_1A_2A_3A_4A_5$ — правильный пятиугольник со стороной $a = 4$ см. Внутренний угол правильного пятиугольника равен $\frac{(5-2) \cdot 180^\circ}{5} = 108^\circ$. Диагонали $A_1A_4$ и $A_2A_5$ пересекаются в точке $P$.

1. Анализ углов.
Рассмотрим треугольник $A_1A_2A_5$. Он является равнобедренным, поскольку его стороны $A_1A_2$ и $A_1A_5$ — это стороны пятиугольника ($A_1A_2 = A_1A_5 = a$). Угол при вершине $\angle A_1$ (то есть $\angle A_5A_1A_2$) равен $108^\circ$. Углы при основании равны: $\angle A_1A_2A_5 = \angle A_1A_5A_2 = \frac{180^\circ - 108^\circ}{2} = 36^\circ$.

Аналогично, треугольник $A_1A_5A_4$ также равнобедренный ($A_1A_5 = A_5A_4 = a$) с углом при вершине $\angle A_5 = 108^\circ$. Углы при его основании равны: $\angle A_5A_1A_4 = \angle A_5A_4A_1 = \frac{180^\circ - 108^\circ}{2} = 36^\circ$.

2. Свойства треугольников с вершиной в точке P.
Рассмотрим треугольник $A_1PA_5$. Его углы при основании $A_1A_5$ равны: $\angle PA_1A_5 = \angle A_4A_1A_5 = 36^\circ$.
$\angle PA_5A_1 = \angle A_2A_5A_1 = 36^\circ$.
Поскольку два угла равны, $\triangle A_1PA_5$ — равнобедренный, и, следовательно, $A_1P = A_5P$. Третий угол $\angle A_1PA_5 = 180^\circ - (36^\circ + 36^\circ) = 108^\circ$.

Теперь рассмотрим треугольник $A_1A_2P$. Его углы: $\angle PA_2A_1 = \angle A_5A_2A_1 = 36^\circ$.
$\angle PA_1A_2 = \angle A_5A_1A_2 - \angle A_5A_1A_4 = 108^\circ - 36^\circ = 72^\circ$.
Третий угол $\angle A_1PA_2 = 180^\circ - (36^\circ + 72^\circ) = 72^\circ$.
Так как $\angle PA_1A_2 = \angle A_1PA_2$, треугольник $A_1A_2P$ также является равнобедренным, и $A_2P = A_1A_2 = a$.

3. Подобие треугольников и вывод формулы.
Обозначим длину диагонали пятиугольника (все диагонали равны) через $d$. Например, $d = A_2A_5$. Длина диагонали $A_2A_5$ может быть выражена как сумма отрезков: $d = A_2A_5 = A_2P + PA_5$. Мы установили, что $A_2P = a$ и $PA_5 = A_1P$, значит, $d = a + A_1P$.

Треугольник $A_1PA_5$ (с углами $36^\circ, 36^\circ, 108^\circ$) подобен треугольнику $A_5A_1A_2$ (с углами $108^\circ, 36^\circ, 36^\circ$). Из подобия следует пропорциональность соответствующих сторон: $\frac{A_1P}{A_1A_5} = \frac{A_1A_5}{A_2A_5}$ Пусть $A_1P = x$. Подставляя известные значения, получаем: $\frac{x}{a} = \frac{a}{d}$ Отсюда $xd = a^2$.

4. Решение системы уравнений.
Мы имеем систему из двух уравнений с двумя неизвестными $x$ и $d$: 1) $d = a + x$ 2) $xd = a^2$ Подставим выражение для $d$ из первого уравнения во второе: $x(a + x) = a^2$ $x^2 + ax - a^2 = 0$ Решим это квадратное уравнение относительно $x$, используя формулу для корней: $x = \frac{-a \pm \sqrt{a^2 - 4(1)(-a^2)}}{2} = \frac{-a \pm \sqrt{5a^2}}{2} = \frac{-a \pm a\sqrt{5}}{2}$. Поскольку длина отрезка должна быть положительной, выбираем корень со знаком плюс: $A_1P = x = \frac{a(\sqrt{5}-1)}{2}$.

5. Расчет.
Подставляем в полученную формулу значение стороны $a = 4$ см: $A_1P = 4 \cdot \frac{\sqrt{5}-1}{2} = 2(\sqrt{5}-1)$ см.

Ответ: $2(\sqrt{5}-1)$ см.

б)

В этой задаче сторона правильного пятиугольника $a = 2$ см. Необходимо найти длину отрезка $A_5P$.

Как было установлено в ходе решения пункта а), треугольник $A_1PA_5$ является равнобедренным, и его боковые стороны $A_1P$ и $A_5P$ равны. $A_5P = A_1P$.

Формула для длины отрезка $A_1P$ в зависимости от стороны пятиугольника $a$, выведенная ранее, имеет вид: $A_1P = a \frac{\sqrt{5}-1}{2}$.

Следовательно, для нахождения $A_5P$ мы можем использовать эту же формулу. Подставим в нее значение стороны $a = 2$ см: $A_5P = 2 \cdot \frac{\sqrt{5}-1}{2} = \sqrt{5}-1$ см.

Ответ: $\sqrt{5}-1$ см.