Номер 13.4, страница 160 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

13.4. a) Сумма всех углов правильного $n$-угольника равна 2160°. Найдите его периметр, если сторона правильного $n$-угольника равна 5 см.

б) Периметр правильного $n$-угольника в 29 раз больше его стороны. Найдите сумму всех углов этого $n$-угольника.

а)

Сумма всех внутренних углов правильного n-угольника ($S$) вычисляется по формуле $S = 180^\circ \cdot (n-2)$, где $n$ – количество сторон многоугольника.

По условию, сумма углов равна $2160^\circ$. Подставим это значение в формулу, чтобы найти количество сторон $n$:

$180^\circ \cdot (n-2) = 2160^\circ$

$n-2 = \frac{2160^\circ}{180^\circ}$

$n-2 = 12$

$n = 14$

Таким образом, мы имеем дело с правильным 14-угольником.

Периметр правильного n-угольника ($P$) равен произведению количества его сторон ($n$) на длину одной стороны ($a$): $P = n \cdot a$.

Из условия известно, что длина стороны $a = 5$ см. Вычислим периметр:

$P = 14 \cdot 5 = 70$ см.

Ответ: 70 см.

б)

Периметр ($P$) правильного n-угольника со стороной $a$ вычисляется по формуле: $P = n \cdot a$.

Согласно условию задачи, периметр в 29 раз больше его стороны, что можно записать как $P = 29 \cdot a$.

Приравняем два выражения для периметра, чтобы найти количество сторон $n$:

$n \cdot a = 29 \cdot a$

Так как длина стороны $a$ не может быть равна нулю ($a > 0$), мы можем разделить обе части уравнения на $a$:

$n = 29$

Следовательно, это правильный 29-угольник.

Сумма всех углов ($S$) этого многоугольника находится по формуле $S = 180^\circ \cdot (n-2)$.

Подставим найденное значение $n = 29$:

$S = 180^\circ \cdot (29 - 2)$

$S = 180^\circ \cdot 27$

$S = 4860^\circ$

Ответ: $4860^\circ$.