Номер 13.9, страница 161 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

13.9. а) На сторонах квадрата от каждой его вершины отложены отрезки, равные половине диагонали квадрата. Полученные восемь точек соединены отрезками. Найдите площадь квадрата, если периметр полученного восьмиугольника равен 8 см.

б) На сторонах квадрата от каждой его вершины отложены отрезки, равные половине диагонали квадрата. Полученные восемь точек соединены отрезками. Найдите периметр полученного восьмиугольника, если диагональ квадрата равна $3\sqrt{2}$ см.

Для решения обеих частей задачи сначала определим общие свойства полученного восьмиугольника. Пусть сторона квадрата равна $a$, а его диагональ — $d$. Тогда $d = a\sqrt{2}$. На каждой стороне квадрата от его вершин отложены отрезки длиной $x$, равной половине диагонали: $x = \frac{d}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Полученный восьмиугольник имеет стороны двух типов:

1. Четыре стороны, образованные соединением точек на соседних сторонах квадрата. Каждая такая сторона является гипотенузой равнобедренного прямоугольного треугольника с катетами $x$. Длина такой стороны, обозначим ее $s_1$, по теореме Пифагора равна: $s_1 = \sqrt{x^2 + x^2} = \sqrt{2x^2} = x\sqrt{2}$. Подставим выражение для $x$: $s_1 = \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right) \cdot \sqrt{2} = \frac{a \cdot 2}{2} = a$. Таким образом, длина этих четырёх сторон равна стороне квадрата.
2. Четыре стороны, лежащие на сторонах исходного квадрата. На каждой стороне квадрата длиной $a$ находятся две точки. Каждая точка отстоит от ближайшей вершины на расстояние $x$. Длина отрезка между этими двумя точками, обозначим ее $s_2$, равна: $s_2 = |a - 2x| = \left|a - 2 \cdot \frac{a\sqrt{2}}{2}\right| = |a - a\sqrt{2}| = a(\sqrt{2}-1)$, так как $\sqrt{2} > 1$.

Периметр восьмиугольника $P_{восьм}$ — это сумма длин всех его восьми сторон: $P_{восьм} = 4s_1 + 4s_2 = 4a + 4a(\sqrt{2}-1) = 4a + 4a\sqrt{2} - 4a = 4a\sqrt{2}$. Так как диагональ квадрата $d = a\sqrt{2}$, мы можем выразить периметр восьмиугольника через диагональ: $P_{восьм} = 4(a\sqrt{2}) = 4d$.

а)

По условию, периметр полученного восьмиугольника равен 8 см. Необходимо найти площадь квадрата $S_{кв}$. Используем формулу для периметра восьмиугольника: $P_{восьм} = 4a\sqrt{2}$. Подставляем известное значение: $8 = 4a\sqrt{2}$ $2 = a\sqrt{2}$ Отсюда находим сторону квадрата $a$: $a = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$ см.

Площадь квадрата равна квадрату его стороны: $S_{кв} = a^2 = (\sqrt{2})^2 = 2$ см$^2$.

Ответ: $2 \text{ см}^2$.

б)

По условию, диагональ квадрата равна $d = 3\sqrt{2}$ см. Необходимо найти периметр полученного восьмиугольника. Воспользуемся выведенной нами простой зависимостью между периметром восьмиугольника и диагональю квадрата: $P_{восьм} = 4d$. Подставляем известное значение диагонали: $P_{восьм} = 4 \cdot (3\sqrt{2}) = 12\sqrt{2}$ см.

Ответ: $12\sqrt{2} \text{ см}$.