Номер 13.11, страница 161 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

13.11. a) Сторона правильного многоугольника равна 12 см, а радиус вписанной в него окружности — $6\sqrt{3}$ см. Найдите диаметр описанной около этого многоугольника окружности.

б) Диаметр описанной около правильного многоугольника окружности равен 20 см. Найдите сторону этого многоугольника, если радиус вписанной в многоугольник окружности равен $5\sqrt{3}$ см.

а)

Для любого правильного многоугольника радиус описанной окружности $R$, радиус вписанной окружности $r$ и его сторона $a$ связаны соотношением, которое вытекает из прямоугольного треугольника, образованного радиусами $R$, $r$ и половиной стороны $a/2$. По теореме Пифагора:

$R^2 = r^2 + (\frac{a}{2})^2$

По условию задачи, сторона многоугольника $a = 12$ см, а радиус вписанной окружности $r = 6\sqrt{3}$ см. Найдем половину стороны:

$\frac{a}{2} = \frac{12}{2} = 6$ см.

Теперь подставим известные значения в формулу, чтобы найти радиус описанной окружности $R$:

$R^2 = (6\sqrt{3})^2 + 6^2 = (36 \cdot 3) + 36 = 108 + 36 = 144$

$R = \sqrt{144} = 12$ см.

Диаметр описанной окружности $D$ равен двум ее радиусам:

$D = 2R = 2 \cdot 12 = 24$ см.

Ответ: 24 см.

б)

По условию, диаметр описанной окружности $D = 20$ см. Найдем ее радиус $R$:

$R = \frac{D}{2} = \frac{20}{2} = 10$ см.

Радиус вписанной окружности $r = 5\sqrt{3}$ см.

Используем ту же формулу, что и в пункте а):

$R^2 = r^2 + (\frac{a}{2})^2$

Выразим из этой формулы половину стороны $\frac{a}{2}$:

$(\frac{a}{2})^2 = R^2 - r^2$

Подставим известные значения $R$ и $r$:

$(\frac{a}{2})^2 = 10^2 - (5\sqrt{3})^2 = 100 - (25 \cdot 3) = 100 - 75 = 25$

Теперь найдем половину стороны, извлекая квадратный корень:

$\frac{a}{2} = \sqrt{25} = 5$ см.

Следовательно, сторона многоугольника $a$ равна:

$a = 2 \cdot 5 = 10$ см.

Ответ: 10 см.