Номер 14.1, страница 162 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

14.1. a) $A_1A_2\dots A_n$ — правильный $n$-угольник со стороной $a$, $O$ — его центр, $r$ — радиус вписанной в него окружности, $R$ — радиус описанной около него окружности (рис. 235). Найдите $n$, если:

1) $r = \frac{a}{2\operatorname{tg}7,5^\circ}$;

2) $r = R \cdot \cos10^\circ$;

3) $a = 2R \cdot \cos 87,5^\circ$;

4) $R = \frac{a}{2\sin 12^\circ}$.

Рис. 235

б) Используя данные рисунков 236, 1)—3), найдите неизвестные величины.

1) $R, r — ?$

2) $a — ?$

3) $R — ?$

Рис. 236

а) Для решения данной задачи воспользуемся общими формулами для правильного n-угольника, связывающими его сторону $a$, радиус вписанной окружности $r$ и радиус описанной окружности $R$. Эти формулы выводятся из рассмотрения равнобедренного треугольника, образованного двумя радиусами описанной окружности, проведенными к соседним вершинам, и стороной многоугольника между ними. Угол при вершине в центре многоугольника для такого треугольника равен $360^\circ/n$.

Основные формулы:

• $r = \frac{a}{2\tan(180^\circ/n)}$
• $r = R\cos(180^\circ/n)$
• $R = \frac{a}{2\sin(180^\circ/n)}$ или $a = 2R\sin(180^\circ/n)$

1) Дано равенство $r = \frac{a}{2\tg7,5^\circ}$.

Сравниваем его с общей формулой $r = \frac{a}{2\tan(180^\circ/n)}$.

Из сравнения получаем: $\tan(180^\circ/n) = \tg7,5^\circ$.

Следовательно, $\frac{180^\circ}{n} = 7,5^\circ$.

Отсюда находим $n$: $n = \frac{180}{7,5} = \frac{1800}{75} = 24$.

Ответ: $n=24$.

2) Дано равенство $r = R \cdot \cos10^\circ$.

Сравниваем его с общей формулой $r = R\cos(180^\circ/n)$.

Из сравнения получаем: $\cos(180^\circ/n) = \cos10^\circ$.

Следовательно, $\frac{180^\circ}{n} = 10^\circ$.

Отсюда находим $n$: $n = \frac{180}{10} = 18$.

Ответ: $n=18$.

3) Дано равенство $a = 2R \cdot \cos 87,5^\circ$.

Воспользуемся формулой приведения: $\cos(x) = \sin(90^\circ - x)$.

$\cos 87,5^\circ = \sin(90^\circ - 87,5^\circ) = \sin(2,5^\circ)$.

Подставив это в исходное равенство, получаем: $a = 2R\sin(2,5^\circ)$.

Сравниваем результат с общей формулой $a = 2R\sin(180^\circ/n)$.

Из сравнения получаем: $\sin(180^\circ/n) = \sin(2,5^\circ)$.

Следовательно, $\frac{180^\circ}{n} = 2,5^\circ$.

Отсюда находим $n$: $n = \frac{180}{2,5} = \frac{1800}{25} = 72$.

Ответ: $n=72$.

4) Дано равенство $R = \frac{a}{2\sin 12^\circ}$.

Сравниваем его с общей формулой $R = \frac{a}{2\sin(180^\circ/n)}$.

Из сравнения получаем: $\sin(180^\circ/n) = \sin 12^\circ$.

Следовательно, $\frac{180^\circ}{n} = 12^\circ$.

Отсюда находим $n$: $n = \frac{180}{12} = 15$.

Ответ: $n=15$.

б)

1) На рисунке изображен правильный треугольник (равносторонний, $n=3$), так как все его стороны отмечены как равные. Длина стороны $a = 15\sqrt{3}$.

Для правильного треугольника радиус описанной окружности $R$ и радиус вписанной окружности $r$ находятся по формулам:

$R = \frac{a}{\sqrt{3}}$ и $r = \frac{R}{2}$.

Вычисляем $R$: $R = \frac{15\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 15$.

Вычисляем $r$: $r = \frac{15}{2} = 7,5$.

Ответ: $R = 15, r = 7,5$.

2) На рисунке изображен квадрат ($n=4$), так как все его стороны равны, а один из углов прямой. Отрезок длиной $5\sqrt{2}$ соединяет центр с вершиной, следовательно, это радиус описанной окружности $R = 5\sqrt{2}$.

Для квадрата сторона $a$ и радиус описанной окружности $R$ связаны соотношением $a = R\sqrt{2}$.

Вычисляем $a$: $a = 5\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 5 \cdot 2 = 10$.

Ответ: $a = 10$.

3) На рисунке изображен квадрат ($n=4$). Отрезок длиной 2 является перпендикуляром из центра к стороне, следовательно, это радиус вписанной окружности $r = 2$.

Для квадрата радиус вписанной окружности $r$ и радиус описанной окружности $R$ связаны соотношением $R = r\sqrt{2}$ (поскольку $R$ — это половина диагонали, $a=2r$, а диагональ равна $a\sqrt{2}$).

Вычисляем $R$: $R = 2 \cdot \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$.

Ответ: $R = 2\sqrt{2}$.