Номер 14.6, страница 164 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

14.6. a) Радиус описанной около правильного 24-угольника окружности равен $R$. Найдите площадь этого 24-угольника.

б) Радиус описанной около правильного $n$-угольника окружности равен $R$. Площадь этого $n$-угольника равна $18R^2 \sin 10^\circ$. Найдите $n$.

а) Площадь правильного n-угольника, вписанного в окружность радиуса R, можно найти, разбив его на n равных равнобедренных треугольников с общей вершиной в центре окружности. Боковые стороны каждого такого треугольника равны радиусу R, а угол между ними (центральный угол) равен $\alpha = \frac{360^\circ}{n}$.
Площадь одного такого треугольника вычисляется по формуле $S_{\triangle} = \frac{1}{2}R \cdot R \sin \alpha = \frac{1}{2}R^2 \sin \alpha$.
Следовательно, площадь всего n-угольника равна сумме площадей n треугольников: $S_n = n \cdot S_{\triangle} = \frac{n}{2}R^2 \sin\left(\frac{360^\circ}{n}\right)$.
В данном случае у нас правильный 24-угольник, поэтому $n=24$. Подставим это значение в формулу:
$S_{24} = \frac{24}{2}R^2 \sin\left(\frac{360^\circ}{24}\right) = 12R^2 \sin(15^\circ)$.
Для нахождения значения $\sin(15^\circ)$ воспользуемся формулой синуса разности углов $\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta$:
$\sin(15^\circ) = \sin(45^\circ - 30^\circ) = \sin(45^\circ)\cos(30^\circ) - \cos(45^\circ)\sin(30^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$.
Теперь подставим полученное значение в формулу для площади 24-угольника:
$S_{24} = 12R^2 \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} = 3R^2(\sqrt{6} - \sqrt{2})$.
Ответ: $S_{24} = 3R^2(\sqrt{6} - \sqrt{2})$.

б) Воспользуемся общей формулой для площади правильного n-угольника, выведенной в предыдущем пункте:
$S_n = \frac{n}{2}R^2 \sin\left(\frac{360^\circ}{n}\right)$.
По условию задачи, площадь этого n-угольника равна $S_n = 18R^2 \sin 10^\circ$.
Приравняем два выражения для площади:
$\frac{n}{2}R^2 \sin\left(\frac{360^\circ}{n}\right) = 18R^2 \sin 10^\circ$.
Сократим обе части уравнения на $R^2$ (так как радиус $R > 0$):
$\frac{n}{2} \sin\left(\frac{360^\circ}{n}\right) = 18 \sin 10^\circ$.
Умножим обе части на 2:
$n \sin\left(\frac{360^\circ}{n}\right) = 36 \sin 10^\circ$.
Сравнивая левую и правую части уравнения, можно предположить, что равенство достигается, когда множители и аргументы синусов соответственно равны. Проверим гипотезу, что $n=36$:
$36 \sin\left(\frac{360^\circ}{36}\right) = 36 \sin 10^\circ$.
$36 \sin 10^\circ = 36 \sin 10^\circ$.
Получено верное тождество, следовательно, $n=36$ является решением. Можно также показать, что функция $f(n) = n \sin\left(\frac{360^\circ}{n}\right)$ является строго возрастающей для $n \ge 3$, что гарантирует единственность данного решения.
Ответ: $n = 36$.