Номер 14.8, страница 164 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

14.8. Правильные $2n$-угольник и $n$-угольник со сторонами $m$ и $k$ соответственно вписаны в окружность радиусом $R$.

Докажите, что $m = \sqrt{2R^2 - R\sqrt{4R^2 - k^2}}$.

Доказательство:

Рассмотрим правильный $n$-угольник и правильный $2n$-угольник, вписанные в одну и ту же окружность радиусом $R$. Пусть $k$ — длина стороны $n$-угольника, а $m$ — длина стороны $2n$-угольника.

1. Возьмем две соседние вершины $A$ и $B$ правильного $n$-угольника. Длина хорды $AB$ равна $k$. Пусть $O$ — центр окружности. Тогда треугольник $\triangle AOB$ является равнобедренным с боковыми сторонами $OA = OB = R$.

2. Проведем высоту $OM$ из точки $O$ на сторону $AB$. В равнобедренном треугольнике $\triangle AOB$ высота $OM$ является также медианой, поэтому $M$ — середина $AB$. Следовательно, $AM = MB = k/2$. Также $OM$ является апофемой $n$-угольника.

3. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OMA$. По теореме Пифагора:

$OM^2 + AM^2 = OA^2$

$OM^2 + (\frac{k}{2})^2 = R^2$

Выразим отсюда $OM$:

$OM^2 = R^2 - \frac{k^2}{4} = \frac{4R^2 - k^2}{4}$

$OM = \sqrt{\frac{4R^2 - k^2}{4}} = \frac{\sqrt{4R^2 - k^2}}{2}$

4. Вершины правильного $2n$-угольника делят каждую дугу, стягиваемую стороной $n$-угольника, пополам. Пусть точка $C$ — вершина $2n$-угольника, лежащая на дуге $AB$ и делящая её пополам. Тогда $AC$ является стороной правильного $2n$-угольника, и её длина равна $m$. Точка $C$ лежит на перпендикуляре, восстановленном из середины хорды $AB$, то есть на продолжении отрезка $OM$.

5. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle CMA$. Его катеты — это $AM$ и $CM$. Гипотенуза — $AC = m$. Мы уже знаем, что $AM = k/2$. Найдем длину катета $CM$. Так как точки $O$, $M$, $C$ лежат на одной прямой и $OC$ — это радиус окружности, то:

$CM = OC - OM = R - \frac{\sqrt{4R^2 - k^2}}{2}$

6. Теперь применим теорему Пифагора к треугольнику $\triangle CMA$:

$AC^2 = AM^2 + CM^2$

$m^2 = \left(\frac{k}{2}\right)^2 + \left(R - \frac{\sqrt{4R^2 - k^2}}{2}\right)^2$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$m^2 = \frac{k^2}{4} + R^2 - 2 \cdot R \cdot \frac{\sqrt{4R^2 - k^2}}{2} + \left(\frac{\sqrt{4R^2 - k^2}}{2}\right)^2$

$m^2 = \frac{k^2}{4} + R^2 - R\sqrt{4R^2 - k^2} + \frac{4R^2 - k^2}{4}$

$m^2 = \frac{k^2}{4} + R^2 - R\sqrt{4R^2 - k^2} + \frac{4R^2}{4} - \frac{k^2}{4}$

$m^2 = \frac{k^2}{4} + R^2 - R\sqrt{4R^2 - k^2} + R^2 - \frac{k^2}{4}$

Сокращая подобные члены, получаем:

$m^2 = 2R^2 - R\sqrt{4R^2 - k^2}$

7. Извлекая квадратный корень из обеих частей (длина стороны $m$ должна быть положительной), получаем искомое равенство:

$m = \sqrt{2R^2 - R\sqrt{4R^2 - k^2}}$

Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: Равенство $m = \sqrt{2R^2 - R\sqrt{4R^2 - k^2}}$ доказано.