Номер 15.5, страница 167 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

15.5. a) Докажите, что площадь правильного вписанного в окружность шестиугольника равна $\frac{3}{4}$ площади правильного шестиугольника, описанного около той же окружности.

б) Докажите, что площадь равнобедренного треугольника, основание которого равно стороне правильного вписанного в окружность четырехугольника, а боковая сторона — стороне правильного треугольника, вписанного в окружность того же радиуса, равна квадрату радиуса, увеличенному в $\frac{\sqrt{5}}{2}$ раза.

а) Докажем, что площадь правильного вписанного в окружность шестиугольника равна $\frac{3}{4}$ площади правильного шестиугольника, описанного около той же окружности.

Пусть радиус окружности равен $R$.

Сначала найдем площадь $S_{вп}$ правильного шестиугольника, вписанного в эту окружность. Такой шестиугольник состоит из 6 одинаковых равносторонних треугольников, вершины которых сходятся в центре окружности. Сторона каждого такого треугольника равна радиусу окружности $R$.

Сторона вписанного шестиугольника: $a_{вп} = R$.

Площадь равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле $S_{\triangle} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$. В нашем случае $a = R$, поэтому площадь одного треугольника составляет $\frac{R^2\sqrt{3}}{4}$.

Площадь всего вписанного шестиугольника равна сумме площадей шести таких треугольников:

$S_{вп} = 6 \cdot \frac{R^2\sqrt{3}}{4} = \frac{3\sqrt{3}}{2}R^2$.

Теперь найдем площадь $S_{оп}$ правильного шестиугольника, описанного около той же окружности. Этот шестиугольник также состоит из 6 одинаковых равносторонних треугольников. Радиус окружности $R$ для описанного многоугольника является его апофемой, то есть высотой этих равносторонних треугольников.

Пусть сторона описанного шестиугольника равна $a_{оп}$. Высота $h$ равностороннего треугольника со стороной $a_{оп}$ равна $h = \frac{a_{оп}\sqrt{3}}{2}$. Так как $h = R$, получаем:

$R = \frac{a_{оп}\sqrt{3}}{2} \implies a_{оп} = \frac{2R}{\sqrt{3}}$.

Площадь одного такого треугольника можно найти как половину произведения основания на высоту: $S_{\triangle} = \frac{1}{2} a_{оп} \cdot h = \frac{1}{2} \cdot \frac{2R}{\sqrt{3}} \cdot R = \frac{R^2}{\sqrt{3}}$.

Площадь всего описанного шестиугольника:

$S_{оп} = 6 \cdot \frac{R^2}{\sqrt{3}} = \frac{6R^2}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}R^2}{3} = 2\sqrt{3}R^2$.

Наконец, найдем отношение площади вписанного шестиугольника к площади описанного:

$\frac{S_{вп}}{S_{оп}} = \frac{\frac{3\sqrt{3}}{2}R^2}{2\sqrt{3}R^2} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2\sqrt{3}} = \frac{3}{4}$.

Следовательно, $S_{вп} = \frac{3}{4}S_{оп}$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

б) Докажем, что площадь указанного равнобедренного треугольника равна квадрату радиуса, увеличенному в $\frac{\sqrt{5}}{2}$ раза.

Пусть радиус окружности равен $R$.

Найдем основание $b$ равнобедренного треугольника. По условию, оно равно стороне $a_4$ правильного четырехугольника (квадрата), вписанного в окружность радиуса $R$. Диагональ такого квадрата является диаметром окружности, т.е. равна $2R$. По теореме Пифагора для квадрата: $a_4^2 + a_4^2 = (2R)^2$.

$2a_4^2 = 4R^2 \implies a_4^2 = 2R^2 \implies a_4 = R\sqrt{2}$.

Таким образом, основание треугольника $b = R\sqrt{2}$.

Найдем боковую сторону $l$ равнобедренного треугольника. По условию, она равна стороне $a_3$ правильного треугольника, вписанного в ту же окружность. Сторону вписанного правильного n-угольника можно найти по формуле $a_n = 2R\sin\left(\frac{180^\circ}{n}\right)$.

Для $n=3$ имеем: $a_3 = 2R\sin\left(\frac{180^\circ}{3}\right) = 2R\sin(60^\circ) = 2R \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = R\sqrt{3}$.

Таким образом, боковая сторона треугольника $l = R\sqrt{3}$.

Теперь вычислим площадь $S$ равнобедренного треугольника с основанием $b=R\sqrt{2}$ и боковыми сторонами $l=R\sqrt{3}$. Для этого найдем высоту $h$, опущенную на основание. Высота в равнобедренном треугольнике является и медианой, поэтому она делит основание на две равные части длиной $\frac{b}{2}$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой $h$, половиной основания $\frac{b}{2}$ и боковой стороной $l$. По теореме Пифагора:

$h^2 + \left(\frac{b}{2}\right)^2 = l^2$

$h^2 = l^2 - \left(\frac{b}{2}\right)^2 = (R\sqrt{3})^2 - \left(\frac{R\sqrt{2}}{2}\right)^2 = 3R^2 - \frac{2R^2}{4} = 3R^2 - \frac{R^2}{2} = \frac{5R^2}{2}$.

Отсюда находим высоту: $h = \sqrt{\frac{5R^2}{2}} = R\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}$.

Площадь треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2}bh$:

$S = \frac{1}{2} \cdot (R\sqrt{2}) \cdot \left(R\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}\right) = \frac{1}{2} R^2 \frac{\sqrt{2}\sqrt{5}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{5}}{2}R^2$.

Мы получили, что площадь треугольника равна $R^2 \cdot \frac{\sqrt{5}}{2}$, то есть равна квадрату радиуса, увеличенному в $\frac{\sqrt{5}}{2}$ раза, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.