Номер 15.6, страница 167 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

15.6. a) В окружности радиусом 5 см хорда $CM$ и диаметр $AB$ взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке $P$, причем $AP : PB = 3 : 1$. Найдите периметр треугольника $ACM$.

б) Диаметр $AE$ и хорда $CK$ окружности взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке $T$, причем $ET : AT = 1 : 3$. Найдите радиус окружности, если периметр треугольника $ACK$ равен $18\sqrt{3}$ см.

а)

Дано: радиус окружности $R = 5$ см. Диаметр $AB$ и хорда $CM$ взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке $P$. Отношение отрезков диаметра $AP : PB = 3 : 1$.
1. Найдем длину диаметра $AB$:
$AB = 2R = 2 \cdot 5 = 10$ см.
2. Найдем длины отрезков $AP$ и $PB$. Так как $AP : PB = 3 : 1$, можно обозначить $AP = 3x$ и $PB = x$.
$AB = AP + PB = 3x + x = 4x$.
$4x = 10$ см, отсюда $x = \frac{10}{4} = 2.5$ см.
Следовательно, $AP = 3 \cdot 2.5 = 7.5$ см и $PB = 2.5$ см.
3. По свойству диаметра, перпендикулярного хорде, он делит эту хорду пополам. Значит, $CP = PM$.
4. По свойству пересекающихся хорд в окружности, произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой: $AP \cdot PB = CP \cdot PM$.
Так как $CP = PM$, то $AP \cdot PB = CP^2$.
$CP^2 = 7.5 \cdot 2.5 = 18.75$.
$CP = \sqrt{18.75} = \sqrt{\frac{75}{4}} = \frac{\sqrt{25 \cdot 3}}{2} = \frac{5\sqrt{3}}{2} = 2.5\sqrt{3}$ см.
5. Длина всей хорды $CM = 2 \cdot CP = 2 \cdot 2.5\sqrt{3} = 5\sqrt{3}$ см.
6. Рассмотрим треугольник $ACM$. Так как отрезок $AP$ (часть диаметра) является высотой к стороне $CM$ и одновременно медианой (поскольку $P$ — середина $CM$), то треугольник $ACM$ — равнобедренный, $AC = AM$.
7. Найдем длину стороны $AC$ из прямоугольного треугольника $APC$ по теореме Пифагора ($AC^2 = AP^2 + CP^2$):
$AC^2 = (7.5)^2 + (2.5\sqrt{3})^2 = 56.25 + 18.75 = 75$.
$AC = \sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3}$ см.
8. Таким образом, все стороны треугольника $ACM$ равны: $AC = AM = CM = 5\sqrt{3}$ см. Значит, треугольник $ACM$ — равносторонний.
9. Периметр треугольника $ACM$ равен сумме длин его сторон:
$P_{ACM} = AC + AM + CM = 5\sqrt{3} + 5\sqrt{3} + 5\sqrt{3} = 3 \cdot 5\sqrt{3} = 15\sqrt{3}$ см.

Ответ: $15\sqrt{3}$ см.

б)

Дано: диаметр $AE$ и хорда $CK$ взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке $T$. Отношение отрезков диаметра $ET : AT = 1 : 3$. Периметр треугольника $ACK$ равен $18\sqrt{3}$ см.
1. Пусть радиус окружности равен $R$. Тогда ее диаметр $AE = 2R$.
2. Найдем длины отрезков $ET$ и $AT$ через $R$. Так как $ET : AT = 1 : 3$, можно обозначить $ET = y$ и $AT = 3y$.
$AE = ET + AT = y + 3y = 4y$.
$4y = 2R$, отсюда $y = \frac{2R}{4} = \frac{R}{2}$.
Следовательно, $ET = \frac{R}{2}$ и $AT = 3 \cdot \frac{R}{2} = \frac{3R}{2}$.
3. Поскольку диаметр $AE$ перпендикулярен хорде $CK$, он делит ее пополам, то есть $CT = TK$. Это также означает, что треугольник $ACK$ является равнобедренным с боковыми сторонами $AC = AK$.
4. По свойству пересекающихся хорд: $AT \cdot ET = CT \cdot TK$.
Так как $CT = TK$, то $AT \cdot ET = CT^2$.
$CT^2 = \frac{3R}{2} \cdot \frac{R}{2} = \frac{3R^2}{4}$.
$CT = \sqrt{\frac{3R^2}{4}} = \frac{R\sqrt{3}}{2}$.
5. Длина всей хорды $CK = 2 \cdot CT = 2 \cdot \frac{R\sqrt{3}}{2} = R\sqrt{3}$.
6. Найдем длину стороны $AC$ из прямоугольного треугольника $ATC$ по теореме Пифагора ($AC^2 = AT^2 + CT^2$):
$AC^2 = \left(\frac{3R}{2}\right)^2 + \left(\frac{R\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{9R^2}{4} + \frac{3R^2}{4} = \frac{12R^2}{4} = 3R^2$.
$AC = \sqrt{3R^2} = R\sqrt{3}$.
7. Таким образом, все стороны треугольника $ACK$ равны: $AC = AK = CK = R\sqrt{3}$. Значит, треугольник $ACK$ — равносторонний.
8. Периметр треугольника $ACK$ равен $P_{ACK} = 3 \cdot AC = 3R\sqrt{3}$.
9. По условию задачи, периметр равен $18\sqrt{3}$ см. Приравняем значения:
$3R\sqrt{3} = 18\sqrt{3}$.
$3R = 18$.
$R = 6$ см.

Ответ: 6 см.