Номер 15.9, страница 168 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

15.9. a) Меньшая диагональ правильного шестиугольника равна на $6\sqrt{3}$ см. Найдите периметр шестиугольника.

б) Меньшая диагональ правильного шестиугольника равна на $9\sqrt{3}$ см. Найдите его большую диагональ.

а)

Пусть $a$ — сторона правильного шестиугольника. Меньшая диагональ $d$ соединяет вершины через одну. Она образует равнобедренный треугольник с двумя смежными сторонами шестиугольника, угол между которыми равен $120^\circ$. Длину меньшей диагонали можно найти по теореме косинусов:
$d^2 = a^2 + a^2 - 2 \cdot a \cdot a \cdot \cos(120^\circ)$
$d^2 = 2a^2 - 2a^2 \cdot (-\frac{1}{2}) = 2a^2 + a^2 = 3a^2$
Отсюда получаем формулу, связывающую меньшую диагональ и сторону: $d = a\sqrt{3}$.

По условию задачи меньшая диагональ $d = 6\sqrt{3}$ см. Подставим это значение в формулу, чтобы найти длину стороны $a$:
$6\sqrt{3} = a\sqrt{3}$
$a = 6$ см.

Периметр $P$ правильного шестиугольника равен произведению длины его стороны на количество сторон:
$P = 6a$
$P = 6 \cdot 6 = 36$ см.

Ответ: 36 см.

б)

Сначала найдем сторону правильного шестиугольника $a$, используя данные о его меньшей диагонали $d = 9\sqrt{3}$ см. Как было показано в пункте а), они связаны соотношением $d = a\sqrt{3}$.

Подставим известное значение $d$:
$9\sqrt{3} = a\sqrt{3}$
Разделив обе части на $\sqrt{3}$, получаем сторону шестиугольника:
$a = 9$ см.

Большая диагональ $D$ правильного шестиугольника соединяет две противоположные вершины и проходит через его центр. Ее длина равна удвоенной стороне шестиугольника (или двум радиусам описанной окружности):
$D = 2a$

Теперь вычислим длину большей диагонали:
$D = 2 \cdot 9 = 18$ см.

Ответ: 18 см.