Номер 15.3, страница 166 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

15.3. a) Периметр правильного треугольника, вписанного в окружность, равен 18 см. Найдите периметр правильного четырехугольника, описанного около этой окружности.

б) Периметр правильного четырехугольника, вписанного в окружность, равен 16 см. Найдите периметр правильного треугольника, описанного около этой окружности.

Пусть $a_3$ – сторона правильного треугольника, вписанного в окружность, а $P_3$ – его периметр. По условию, $P_3 = 18$ см. Так как треугольник правильный, все его стороны равны, и длина одной стороны составляет $a_3 = \frac{P_3}{3} = \frac{18}{3} = 6$ см.

Сторона правильного треугольника, вписанного в окружность, связана с радиусом $R$ этой окружности (радиусом описанной окружности) формулой $a_3 = R\sqrt{3}$. Используя эту формулу, найдем радиус окружности: $R = \frac{a_3}{\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$ см.

Теперь рассмотрим правильный четырехугольник (квадрат), описанный около этой же окружности. Для этого квадрата данная окружность является вписанной, и ее радиус $r$ равен найденному радиусу $R$. Таким образом, $r = 2\sqrt{3}$ см.

Сторона правильного четырехугольника, описанного около окружности, $a'_4$, равна диаметру вписанной окружности, то есть $a'_4 = 2r$. Найдем сторону квадрата: $a'_4 = 2 \cdot 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$ см.

Периметр этого квадрата, $P'_4$, равен произведению длины стороны на количество сторон: $P'_4 = 4 \cdot a'_4 = 4 \cdot 4\sqrt{3} = 16\sqrt{3}$ см.

Ответ: $16\sqrt{3}$ см.

Пусть $a_4$ – сторона правильного четырехугольника (квадрата), вписанного в окружность, а $P_4$ – его периметр. По условию, $P_4 = 16$ см. Так как четырехугольник правильный, его сторона равна $a_4 = \frac{P_4}{4} = \frac{16}{4} = 4$ см.

Сторона квадрата, вписанного в окружность, связана с радиусом $R$ этой окружности (радиусом описанной окружности) формулой $a_4 = R\sqrt{2}$. Найдем радиус окружности: $R = \frac{a_4}{\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$ см.

Теперь рассмотрим правильный треугольник, описанный около этой же окружности. Для этого треугольника данная окружность является вписанной, и ее радиус $r$ равен найденному радиусу $R$. Таким образом, $r = 2\sqrt{2}$ см.

Сторона правильного треугольника, описанного около окружности, $a'_3$, связана с радиусом вписанной окружности $r$ формулой $a'_3 = 2r\sqrt{3}$. Найдем сторону треугольника: $a'_3 = 2 \cdot (2\sqrt{2}) \cdot \sqrt{3} = 4\sqrt{6}$ см.

Периметр этого треугольника, $P'_3$, равен произведению длины стороны на количество сторон: $P'_3 = 3 \cdot a'_3 = 3 \cdot 4\sqrt{6} = 12\sqrt{6}$ см.

Ответ: $12\sqrt{6}$ см.