Номер 14.7, страница 164 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

14.7. Треугольник ABC — равносторонний с периметром 6. Используя рисунок 237, найдите периметр треугольника OPK.

Рис. 237

По условию, треугольник $ABC$ — равносторонний с периметром $6$. Найдем длину его стороны:
$a = AB = BC = CA = \frac{P_{ABC}}{3} = \frac{6}{3} = 2$.

Все углы равностороннего треугольника равны $60^\circ$, то есть $\angle ABC = \angle BCA = \angle CAB = 60^\circ$.

Рассмотрим фигуры, построенные на сторонах треугольника $ABC$.

• На стороне $AB$ построен равнобедренный прямоугольный треугольник $AOB$ с прямым углом при вершине $O$. Гипотенуза этого треугольника — $AB=2$. Катеты $OA$ и $OB$ равны. По теореме Пифагора: $OA^2 + OB^2 = AB^2$, или $2 \cdot OA^2 = 2^2 = 4$. Отсюда $OA^2=2$, и $OA=OB=\sqrt{2}$. Углы при основании равны: $\angle OAB = \angle OBA = 45^\circ$.
• Аналогично, на стороне $BC$ построен равнобедренный прямоугольный треугольник $BPC$ с прямым углом при вершине $P$. Его гипотенуза — $BC=2$. Катеты $PB=PC=\sqrt{2}$, а углы при основании $\angle PBC = \angle PCB = 45^\circ$.
• На стороне $AC$ построен квадрат. Точка $K$ — центр этого квадрата (точка пересечения диагоналей). Диагонали квадрата равны, перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам. Длина диагонали равна $AC\sqrt{2} = 2\sqrt{2}$. Расстояние от центра до вершины равно половине диагонали: $AK=CK=\frac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$. Диагонали также являются биссектрисами углов квадрата, поэтому $\angle KAC = \angle KCA = 45^\circ$.

Периметр треугольника $OPK$ равен сумме длин его сторон: $P_{OPK} = OP + PK + KO$. Найдем длину каждой стороны, используя теорему косинусов.

Найдем сторону KO
Рассмотрим треугольник $AKO$. Мы знаем длины сторон $AK=\sqrt{2}$ и $AO=\sqrt{2}$. Найдем угол $\angle OAK$ между этими сторонами. Этот угол складывается из угла $\angle OAB$ и угла $\angle CAB$, так как треугольник $AOB$ построен наружу от $\triangle ABC$.
$\angle OAK = \angle OAB + \angle CAB = 45^\circ + 60^\circ = 105^\circ$.
Однако, точка K находится по другую сторону от прямой AC, если смотреть от точки B. Правильнее рассмотреть расположение векторов. Угол между векторами $\vec{AO}$ и $\vec{AK}$ составляет $150^\circ$ (как было бы видно, если поместить вершину A в начало координат).
Применим теорему косинусов для $\triangle AKO$:
$KO^2 = AK^2 + AO^2 - 2 \cdot AK \cdot AO \cdot \cos(\angle OAK)$
$KO^2 = (\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2 - 2 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} \cdot \cos(150^\circ)$
$KO^2 = 2 + 2 - 4 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = 4 + 2\sqrt{3}$.
$KO = \sqrt{4+2\sqrt{3}} = \sqrt{1+2\sqrt{3}+3} = \sqrt{(1+\sqrt{3})^2} = 1+\sqrt{3}$.

Найдем сторону PK
Рассмотрим треугольник $CKP$. Мы знаем стороны $CK=\sqrt{2}$ и $CP=\sqrt{2}$. Найдем угол $\angle PCK$. Он состоит из трех углов с общей вершиной $C$: $\angle PCB$, $\angle BCA$ и $\angle KCA$.
$\angle PCK = \angle PCB + \angle BCA + \angle KCA = 45^\circ + 60^\circ + 45^\circ = 150^\circ$.
Применим теорему косинусов для $\triangle CKP$:
$PK^2 = CK^2 + CP^2 - 2 \cdot CK \cdot CP \cdot \cos(\angle PCK)$
$PK^2 = (\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2 - 2 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} \cdot \cos(150^\circ)$
$PK^2 = 2 + 2 - 4 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = 4 + 2\sqrt{3}$.
$PK = \sqrt{4+2\sqrt{3}} = 1+\sqrt{3}$.

Найдем сторону OP
Рассмотрим треугольник $OBP$. Мы знаем стороны $OB=\sqrt{2}$ и $PB=\sqrt{2}$. Найдем угол $\angle OBP$. Он состоит из трех углов с общей вершиной $B$: $\angle OBA$, $\angle ABC$ и $\angle CBP$.
$\angle OBP = \angle OBA + \angle ABC + \angle CBP = 45^\circ + 60^\circ + 45^\circ = 150^\circ$.
Применим теорему косинусов для $\triangle OBP$:
$OP^2 = OB^2 + PB^2 - 2 \cdot OB \cdot PB \cdot \cos(\angle OBP)$
$OP^2 = (\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2 - 2 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} \cdot \cos(150^\circ)$
$OP^2 = 2 + 2 - 4 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = 4 + 2\sqrt{3}$.
$OP = \sqrt{4+2\sqrt{3}} = 1+\sqrt{3}$.

Все стороны треугольника $OPK$ равны: $KO = PK = OP = 1+\sqrt{3}$. Следовательно, треугольник $OPK$ является равносторонним.
Периметр треугольника $OPK$ равен:
$P_{OPK} = 3 \cdot (1+\sqrt{3}) = 3+3\sqrt{3}$.

Ответ: $3+3\sqrt{3}$.