Номер 15.4, страница 166 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

15.4. a) Радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник, равен $2\sqrt{3}$. Найдите сторону правильного четырехугольника, описанного около этой окружности.

б) Радиус окружности, вписанной в правильный четырехугольник, равен $2$. Найдите сторону правильного шестиугольника, описанного около окружности, проходящей через все вершины этого правильного четырехугольника.

а)

Пусть $r$ — радиус данной окружности. По условию, $r = 2\sqrt{3}$. Правильный четырехугольник — это квадрат. Если квадрат описан около окружности, то эта окружность вписана в квадрат. Сторона квадрата, описанного около окружности, равна диаметру этой окружности. Пусть $a_4$ — сторона квадрата. Тогда $a_4 = 2r$. Подставим известное значение радиуса: $a_4 = 2 \cdot 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$. Информация о правильном шестиугольнике в данном пункте является избыточной, так как радиус окружности уже задан.

Ответ: $4\sqrt{3}$.

б)

Сначала найдем сторону правильного четырехугольника (квадрата). Пусть $r_{вп}$ — радиус окружности, вписанной в квадрат, и $a_4$ — сторона этого квадрата. По условию, $r_{вп} = 2$. Для квадрата радиус вписанной окружности равен половине его стороны: $r_{вп} = \frac{a_4}{2}$. Отсюда находим сторону квадрата: $a_4 = 2 \cdot r_{вп} = 2 \cdot 2 = 4$.

Далее найдем радиус окружности, проходящей через все вершины этого квадрата. Эта окружность является описанной около квадрата. Пусть $R_{оп}$ — радиус описанной окружности. Он равен половине диагонали квадрата $d$. Диагональ квадрата со стороной $a_4$ вычисляется по формуле $d = a_4\sqrt{2}$. $d = 4\sqrt{2}$. Тогда радиус описанной окружности: $R_{оп} = \frac{d}{2} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$.

Теперь нам нужно найти сторону правильного шестиугольника, описанного около этой окружности (с радиусом $R_{оп} = 2\sqrt{2}$). Это означает, что данная окружность является вписанной в этот шестиугольник. Таким образом, радиус вписанной в шестиугольник окружности $r_6$ равен $R_{оп}$, то есть $r_6 = 2\sqrt{2}$. Пусть $a_6$ — сторона этого правильного шестиугольника. Связь между стороной правильного шестиугольника и радиусом вписанной в него окружности выражается формулой: $r_6 = \frac{a_6\sqrt{3}}{2}$. Выразим из этой формулы сторону $a_6$: $a_6 = \frac{2r_6}{\sqrt{3}}$. Подставим значение $r_6 = 2\sqrt{2}$: $a_6 = \frac{2 \cdot 2\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$. Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$: $a_6 = \frac{4\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{6}}{3}$.

Ответ: $\frac{4\sqrt{6}}{3}$.