Номер 15.8, страница 168 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

15.8. a) $ABCDMN$ — правильный шестиугольник. Площадь треугольника $ABC$ равна 5. Найдите площадь шестиугольника.

б) Площадь правильного шестиугольника $ABCDMN$ равна 60. Найдите площадь четырехугольника $ACDM$.

а)

Пусть сторона правильного шестиугольника $ABCDMN$ равна $a$. Площадь треугольника $ABC$ можно найти по формуле площади треугольника через две стороны и угол между ними. Стороны $AB$ и $BC$ равны $a$. Угол правильного шестиугольника $\angle ABC$ равен $(6-2) \cdot 180^\circ / 6 = 120^\circ$.

Площадь треугольника $ABC$ вычисляется как: $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin(\angle ABC) = \frac{1}{2} a \cdot a \cdot \sin(120^\circ) = \frac{1}{2} a^2 \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$.

По условию задачи, площадь треугольника $ABC$ равна 5, следовательно, мы имеем равенство: $\frac{a^2 \sqrt{3}}{4} = 5$.

Площадь правильного шестиугольника со стороной $a$ равна сумме площадей шести равносторонних треугольников, на которые его можно разбить, с общей вершиной в центре. Площадь одного такого равностороннего треугольника также равна $\frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$.

Таким образом, площадь всего шестиугольника $S_{ABCDMN}$ равна: $S_{ABCDMN} = 6 \cdot \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$.

Подставляя известное значение $\frac{a^2 \sqrt{3}}{4} = 5$ из площади треугольника $ABC$, получаем: $S_{ABCDMN} = 6 \cdot 5 = 30$.

Ответ: 30.

б)

Площадь правильного шестиугольника $ABCDMN$ равна 60. Правильный шестиугольник можно разбить на 6 одинаковых равносторонних треугольников с общей вершиной в его центре (обозначим центр как $O$) и сторонами, равными стороне шестиугольника $a$.

Пусть $S_{eq}$ — площадь одного такого равностороннего треугольника. Тогда площадь всего шестиугольника $S_{hex} = 6 \cdot S_{eq}$. Из условия $S_{hex} = 60$, находим: $S_{eq} = \frac{60}{6} = 10$.

Площадь четырехугольника $ACDM$ можно найти, разбив его на треугольники с общей вершиной в центре $O$: $\triangle OAC$, $\triangle OCD$, $\triangle ODM$ и $\triangle OMA$.

Найдем площадь каждого из этих треугольников:

• Треугольник $\triangle OCD$: его стороны $OC$ и $OD$ являются радиусами описанной окружности, а $CD$ — сторона шестиугольника. Для правильного шестиугольника радиус описанной окружности равен его стороне ($R=a$), поэтому $OC = OD = CD = a$. Следовательно, $\triangle OCD$ — равносторонний, и его площадь $S_{OCD} = S_{eq} = 10$.
• Треугольник $\triangle ODM$: аналогично, $OD = OM = DM = a$, поэтому $\triangle ODM$ — равносторонний, и его площадь $S_{ODM} = S_{eq} = 10$.
• Треугольник $\triangle OAC$: стороны $OA=a$, $OC=a$. Угол между ними $\angle AOC$ равен сумме центральных углов $\angle AOB + \angle BOC = 60^\circ + 60^\circ = 120^\circ$. Его площадь $S_{OAC} = \frac{1}{2} a \cdot a \cdot \sin(120^\circ) = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$, что равно площади $S_{eq}$. Таким образом, $S_{OAC} = 10$.
• Треугольник $\triangle OMA$: стороны $OM=a$, $OA=a$. Угол между ними $\angle MOA$ равен сумме центральных углов $\angle MON + \angle NOA = 60^\circ + 60^\circ = 120^\circ$. Его площадь $S_{OMA} = \frac{1}{2} a \cdot a \cdot \sin(120^\circ) = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = S_{eq}$. Таким образом, $S_{OMA} = 10$.

Площадь четырехугольника $ACDM$ равна сумме площадей этих четырех треугольников: $S_{ACDM} = S_{OAC} + S_{OCD} + S_{ODM} + S_{OMA} = 10 + 10 + 10 + 10 = 40$.

Ответ: 40.