Номер 15.1, страница 165 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

15.1. Используя данные рисунков 238, а)—и), найдите неизвестные величины.

а) $\smile AB = \smile BC = \smile AC$;

$R — ?$

б) $ON — ?$

в) $OA — ?$

г) $ABCDEF —$ правильный 6-угольник,

$BE > AF$ на 6;

$P_{ABCDEF} — ?$

д) $S_{A_1 A_3 A_5} = 12$;

$S_{A_1 A_2 A_3 A_4 A_5 A_6} — ?$

е) $CMEK —$ квадрат;

$S_{\triangle ABC} — ?$

ж) $\triangle ABC —$ равносторонний;

$S_{\triangle ABC} — ?$

з) $ABCD$ и $A_1 A_2 \ldots A_6 —$ правильные многоугольники;

$S_{ABCD} = 16$;

$S_{A_1 A_2 A_3 A_4 A_5 A_6} — ?$

и) $A_1 A_2 \ldots A_6 —$ правильный 6-угольник,

$P_{A_1 A_2 A_3 A_4 A_5 A_6} = 12$;

$P_{\triangle ABC} — ?$

Рис. 238

а)

Поскольку дуги $\cup AB$, $\cup BC$ и $\cup AC$ равны, то равны и хорды, стягивающие эти дуги: $AB = BC = AC$. Из условия известно, что $BC = 6$, следовательно, треугольник $ABC$ является равносторонним со стороной $a=6$. Радиус $R$ описанной около равностороннего треугольника окружности связан с его стороной $a$ формулой $a = R\sqrt{3}$. Подставим известное значение стороны: $6 = R\sqrt{3}$. Отсюда находим радиус: $R = \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$.
Ответ: $2\sqrt{3}$.

б)

На рисунке изображен вписанный в окружность квадрат $MNEK$. Отрезок $ON$ является радиусом $R$ этой окружности. Нам дана длина стороны квадрата $ME=2$. Сторона вписанного в окружность квадрата $a_4$ связана с радиусом $R$ формулой $a_4 = R\sqrt{2}$. Подставим известное значение стороны $a_4 = 2$: $2 = R\sqrt{2}$. Отсюда находим радиус: $R = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$. Таким образом, $ON = R = \sqrt{2}$.
Ответ: $\sqrt{2}$.

в)

На рисунке изображен равносторонний треугольник $ABC$, в который вписана окружность с центром $O$. Расстояние от центра $O$ до стороны $AC$ является радиусом вписанной окружности $r$. По условию $r=2$. Отрезок $OA$ является радиусом описанной около треугольника $ABC$ окружности $R$. Для равностороннего треугольника центры вписанной и описанной окружностей совпадают, и радиусы связаны соотношением $R = 2r$. Следовательно, $OA = R = 2 \cdot 2 = 4$.
Ответ: 4.

г)

Дан правильный шестиугольник $ABCDEF$. $BE$ - его большая диагональ, которая проходит через центр описанной окружности и равна ее диаметру: $BE = 2R$. $AF$ - малая диагональ. Ее длина в правильном шестиугольнике вычисляется по формуле $AF = R\sqrt{3}$. По условию $BE > AF$ на 6, то есть $BE = AF + 6$. Составим уравнение: $2R = R\sqrt{3} + 6$. Решим его относительно $R$: $2R - R\sqrt{3} = 6 \implies R(2 - \sqrt{3}) = 6 \implies R = \frac{6}{2 - \sqrt{3}} = \frac{6(2 + \sqrt{3})}{(2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})} = \frac{6(2 + \sqrt{3})}{4-3} = 6(2 + \sqrt{3})$. Сторона правильного шестиугольника $a$ равна радиусу описанной окружности, $a=R$. Периметр шестиугольника $P_{ABCDEF} = 6a = 6R = 6 \cdot 6(2 + \sqrt{3}) = 36(2 + \sqrt{3})$.
Ответ: $36(2 + \sqrt{3})$.

д)

В правильном шестиугольнике $A_1A_2A_3A_4A_5A_6$ треугольник $A_1A_3A_5$, образованный соединением вершин через одну, является равносторонним. Площадь правильного шестиугольника состоит из 6 равносторонних треугольников с вершиной в центре и стороной, равной радиусу $R$ описанной окружности ($S_{шест} = 6 \cdot \frac{R^2\sqrt{3}}{4} = \frac{3R^2\sqrt{3}}{2}$). Сторона треугольника $A_1A_3A_5$ равна $R\sqrt{3}$. Его площадь $S_{A_1A_3A_5} = \frac{(R\sqrt{3})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{3R^2\sqrt{3}}{4}$. Сравнивая площади, видим, что $S_{шест} = 2 \cdot S_{A_1A_3A_5}$. Так как $S_{A_1A_3A_5} = 12$, то площадь шестиугольника $S_{A_1A_2A_3A_4A_5A_6} = 2 \cdot 12 = 24$.
Ответ: 24.

е)

В одну и ту же окружность вписаны равносторонний треугольник $ABC$ и квадрат $CMEK$. Дана сторона квадрата $MC=6$. Используя формулу для стороны вписанного квадрата $a_4 = R\sqrt{2}$, найдем радиус окружности: $6 = R\sqrt{2} \implies R = \frac{6}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2}$. Теперь найдем сторону вписанного равностороннего треугольника $a_3$, используя формулу $a_3 = R\sqrt{3}$. $a_3 = (3\sqrt{2})\sqrt{3} = 3\sqrt{6}$. Площадь равностороннего треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$. $S_{\triangle ABC} = \frac{(3\sqrt{6})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{9 \cdot 6 \cdot \sqrt{3}}{4} = \frac{54\sqrt{3}}{4} = \frac{27\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: $\frac{27\sqrt{3}}{2}$.

ж)

Задача решается "изнутри наружу". Дан квадрат, вписанный в окружность, со стороной $a_4 = \sqrt{2}$. Найдем радиус этой окружности $r$ по формуле $a_4 = r\sqrt{2}$: $\sqrt{2} = r\sqrt{2} \implies r=1$. Эта окружность, в свою очередь, вписана в равносторонний треугольник $ABC$. Значит, ее радиус $r=1$ является радиусом вписанной в треугольник окружности. Связь между стороной равностороннего треугольника $a$ и радиусом вписанной окружности $r$ выражается формулой $r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$. Отсюда найдем сторону $a$: $1 = \frac{a}{2\sqrt{3}} \implies a = 2\sqrt{3}$. Теперь вычислим площадь треугольника $ABC$: $S_{\triangle ABC} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{(2\sqrt{3})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{12\sqrt{3}}{4} = 3\sqrt{3}$.
Ответ: $3\sqrt{3}$.

з)

Площадь квадрата $ABCD$ равна 16, значит, его сторона $s = \sqrt{16} = 4$. В этот квадрат вписана окружность. Диаметр этой окружности равен стороне квадрата, $d=4$, а ее радиус $R = d/2 = 2$. В эту окружность вписан правильный шестиугольник $A_1A_2...A_6$. Сторона правильного вписанного шестиугольника $a$ равна радиусу описанной окружности, т.е. $a=R=2$. Площадь правильного шестиугольника вычисляется по формуле $S_6 = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2}$. Подставим значение стороны: $S_{A_1A_2A_3A_4A_5A_6} = \frac{3 \cdot 2^2 \sqrt{3}}{2} = \frac{12\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$.
Ответ: $6\sqrt{3}$.

и)

Дан правильный шестиугольник $A_1A_2...A_6$, описанный около окружности. Его периметр равен 12, значит, его сторона $a_6 = 12/6 = 2$. Радиус вписанной в него окружности $r$ (апофема шестиугольника) находится по формуле $r = \frac{a_6\sqrt{3}}{2} = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$. В эту же окружность вписан равносторонний треугольник $ABC$. Для этого треугольника данная окружность является описанной, то есть радиус описанной окружности $R_{\triangle} = r = \sqrt{3}$. Сторона вписанного равностороннего треугольника $a_3$ связана с радиусом описанной окружности формулой $a_3 = R_{\triangle}\sqrt{3}$. $a_3 = \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3$. Периметр треугольника $P_{\triangle ABC} = 3 \cdot a_3 = 3 \cdot 3 = 9$.
Ответ: 9.