Номер 13.10, страница 161 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

13.10. a) $A_1 A_2 \ldots A_8$ — правильный восьмиугольник. На стороне $A_1 A_2$ лежит точка $P$ так, что $A_1 P = 3\sqrt{2}$, $PA_2 = \sqrt{2}$. Найдите расстояние от точки $P$ до прямой $A_7 A_8$.

б) $A_1 A_2 \ldots A_8$ — правильный восьмиугольник. На стороне $A_1 A_2$ лежит точка $P$ так, что $A_1 P = 6\sqrt{2}$, $PA_2 = \sqrt{2}$. Найдите расстояние от точки $P$ до прямой $A_4 A_5$.

а)

Для решения задачи введем декартову систему координат. Поместим центр правильного восьмиугольника $A_1A_2...A_8$ в начало координат $O(0,0)$. Расположим восьмиугольник так, чтобы его сторона $A_1A_2$ была горизонтальна и находилась в верхней полуплоскости. В этом случае стороны $A_3A_4$ и $A_8A_7$ будут вертикальны, а сторона $A_5A_6$ — горизонтальна и будет находиться в нижней полуплоскости.

Пусть $s$ — длина стороны восьмиугольника, а $h$ — его апофема (расстояние от центра до середины стороны). Для правильного восьмиугольника существует соотношение между апофемой и стороной: $h = \frac{s}{2\tan(180^\circ/8)} = \frac{s}{2\tan(22.5^\circ)}$.

Значение $\tan(22.5^\circ)$ можно найти по формуле тангенса половинного угла: $\tan(22.5^\circ) = \sqrt{2}-1$.
Тогда $h = \frac{s}{2(\sqrt{2}-1)} = \frac{s(\sqrt{2}+1)}{2}$.

Координаты вершин восьмиугольника будут следующими:
$A_1 = (-s/2, h)$, $A_2 = (s/2, h)$
$A_7 = (-h, -s/2)$, $A_8 = (-h, s/2)$

Из условия задачи для пункта а) имеем: $A_1P = 3\sqrt{2}$ и $PA_2 = \sqrt{2}$.
Точка $P$ лежит на стороне $A_1A_2$, следовательно, длина стороны $s = A_1A_2 = A_1P + PA_2 = 3\sqrt{2} + \sqrt{2} = 4\sqrt{2}$.

Теперь найдем апофему $h$:
$h = \frac{4\sqrt{2}(\sqrt{2}+1)}{2} = 2\sqrt{2}(\sqrt{2}+1) = 4 + 2\sqrt{2}$.

Найдем координаты точки $P$. Так как $P$ лежит на отрезке $A_1A_2$, ее y-координата равна $h$. X-координату найдем, зная, что $P$ делит отрезок $A_1A_2$ в отношении $3\sqrt{2}:\sqrt{2}$, то есть $3:1$.
$x_P = x_{A_1} + \frac{A_1P}{A_1A_2}(x_{A_2} - x_{A_1}) = -s/2 + \frac{3\sqrt{2}}{4\sqrt{2}}(s/2 - (-s/2)) = -s/2 + \frac{3}{4}s = \frac{s}{4}$.
$x_P = \frac{4\sqrt{2}}{4} = \sqrt{2}$.
Таким образом, координаты точки $P$ равны $(\sqrt{2}, 4+2\sqrt{2})$.

Прямая $A_7A_8$ проходит через точки $A_7(-h, -s/2)$ и $A_8(-h, s/2)$. Это вертикальная прямая, ее уравнение $x = -h$.
$x = -(4+2\sqrt{2})$.

Расстояние от точки $P(x_P, y_P)$ до вертикальной прямой $x=c$ равно $|x_P - c|$.
Искомое расстояние $d$ от точки $P$ до прямой $A_7A_8$ равно:
$d = |\sqrt{2} - (-(4+2\sqrt{2}))| = |\sqrt{2} + 4 + 2\sqrt{2}| = |4 + 3\sqrt{2}| = 4+3\sqrt{2}$.

Ответ: $4+3\sqrt{2}$.

б)

Используем ту же систему координат, что и в пункте а).
Координаты вершин, выраженные через сторону $s$ и апофему $h = \frac{s(\sqrt{2}+1)}{2}$, остаются теми же.
$A_4 = (h, -s/2)$, $A_5 = (s/2, -h)$

Из условия задачи для пункта б) имеем: $A_1P = 6\sqrt{2}$ и $PA_2 = \sqrt{2}$.
Длина стороны $s = A_1A_2 = A_1P + PA_2 = 6\sqrt{2} + \sqrt{2} = 7\sqrt{2}$.

Найдем апофему $h$:
$h = \frac{7\sqrt{2}(\sqrt{2}+1)}{2} = \frac{14+7\sqrt{2}}{2} = 7 + \frac{7\sqrt{2}}{2}$.

Найдем координаты точки $P$. Y-координата точки $P$ равна $h$. X-координату найдем из отношения, в котором $P$ делит $A_1A_2$: $6\sqrt{2}:\sqrt{2}$, то есть $6:1$.
$x_P = x_{A_1} + \frac{A_1P}{A_1A_2}(x_{A_2} - x_{A_1}) = -s/2 + \frac{6\sqrt{2}}{7\sqrt{2}}s = -s/2 + \frac{6}{7}s = (\frac{6}{7}-\frac{1}{2})s = \frac{12-7}{14}s = \frac{5s}{14}$.
$x_P = \frac{5 \cdot 7\sqrt{2}}{14} = \frac{5\sqrt{2}}{2}$.
Координаты точки $P$ равны $(\frac{5\sqrt{2}}{2}, 7 + \frac{7\sqrt{2}}{2})$.

Теперь найдем уравнение прямой $A_4A_5$.
Координаты вершин:$A_4 = (h, -s/2) = (7 + \frac{7\sqrt{2}}{2}, -\frac{7\sqrt{2}}{2})$
$A_5 = (s/2, -h) = (\frac{7\sqrt{2}}{2}, -7 - \frac{7\sqrt{2}}{2})$

Найдем угловой коэффициент $m$ прямой $A_4A_5$:
$m = \frac{y_5-y_4}{x_5-x_4} = \frac{(-7 - \frac{7\sqrt{2}}{2})-(-\frac{7\sqrt{2}}{2})}{\frac{7\sqrt{2}}{2}-(7 + \frac{7\sqrt{2}}{2})} = \frac{-7}{-7} = 1$.

Уравнение прямой можно записать в виде $y - y_4 = m(x-x_4)$:
$y - (-\frac{7\sqrt{2}}{2}) = 1 \cdot (x - (7 + \frac{7\sqrt{2}}{2}))$
$y + \frac{7\sqrt{2}}{2} = x - 7 - \frac{7\sqrt{2}}{2}$
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить общее уравнение прямой $Ax+By+C=0$:
$x - y - 7 - 7\sqrt{2} = 0$.

Расстояние $d$ от точки $P(x_P, y_P)$ до прямой $Ax+By+C=0$ вычисляется по формуле:$d = \frac{|Ax_P+By_P+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$.

Подставляем координаты точки $P$ и коэффициенты прямой:
$d = \frac{|1 \cdot \frac{5\sqrt{2}}{2} - 1 \cdot (7 + \frac{7\sqrt{2}}{2}) - (7+7\sqrt{2})|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}$
$d = \frac{|\frac{5\sqrt{2}}{2} - 7 - \frac{7\sqrt{2}}{2} - 7 - 7\sqrt{2}|}{\sqrt{2}}$
$d = \frac{|-\frac{2\sqrt{2}}{2} - 14 - 7\sqrt{2}|}{\sqrt{2}} = \frac{|-\sqrt{2} - 14 - 7\sqrt{2}|}{\sqrt{2}} = \frac{|-14 - 8\sqrt{2}|}{\sqrt{2}} = \frac{14+8\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$.

Упростим выражение:
$d = \frac{14\sqrt{2} + 8(\sqrt{2})^2}{2} = \frac{14\sqrt{2} + 16}{2} = 8+7\sqrt{2}$.

Ответ: $8+7\sqrt{2}$.