Номер 12.7, страница 158 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

12.7. a) Диагонали параллелограмма равны 10 см и 18 см, а одна из его сторон — 8 см. Найдите площадь параллелограмма.

б) Диагонали параллелограмма равны 16 см и 24 см, а одна из его сторон — 10 см. Найдите площадь параллелограмма.

а)

Пусть дан параллелограмм со стороной $a = 8$ см и диагоналями $d_1 = 10$ см и $d_2 = 18$ см.

Диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам. Следовательно, они делят параллелограмм на четыре треугольника с равными площадями. Рассмотрим один из таких треугольников, образованный одной из сторон параллелограмма и половинами диагоналей.

Половины диагоналей равны $d_1/2 = 10/2 = 5$ см и $d_2/2 = 18/2 = 9$ см.

Таким образом, мы получаем треугольник со сторонами 5 см, 9 см и 8 см. Найдем площадь этого треугольника по формуле Герона: $S_{\text{тр}} = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p$ — полупериметр.

Вычислим полупериметр $p$:$p = \frac{5 + 9 + 8}{2} = \frac{22}{2} = 11$ см.

Теперь вычислим площадь треугольника:$S_{\text{тр}} = \sqrt{11(11-5)(11-9)(11-8)} = \sqrt{11 \cdot 6 \cdot 2 \cdot 3} = \sqrt{11 \cdot 36} = 6\sqrt{11}$ см$^2$.

Площадь параллелограмма равна учетверенной площади этого треугольника, так как диагонали делят его на четыре равновеликих треугольника:

$S_{\text{пар}} = 4 \cdot S_{\text{тр}} = 4 \cdot 6\sqrt{11} = 24\sqrt{11}$ см$^2$.

Ответ: $24\sqrt{11}$ см$^2$.

б)

Пусть дан параллелограмм со стороной $a = 10$ см и диагоналями $d_1 = 16$ см и $d_2 = 24$ см.

Диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам. Они разделяют параллелограмм на четыре равновеликих (равных по площади) треугольника.

Найдем длины половин диагоналей: $d_1/2 = 16/2 = 8$ см и $d_2/2 = 24/2 = 12$ см.

Рассмотрим треугольник, образованный стороной параллелограмма и половинами диагоналей. Его стороны равны 10 см, 8 см и 12 см. Найдем площадь этого треугольника, используя формулу Герона: $S_{\text{тр}} = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$.

Сначала найдем полупериметр $p$ этого треугольника:$p = \frac{10 + 8 + 12}{2} = \frac{30}{2} = 15$ см.

Теперь вычислим площадь треугольника:$S_{\text{тр}} = \sqrt{15(15-10)(15-8)(15-12)} = \sqrt{15 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 3} = \sqrt{(3 \cdot 5) \cdot 5 \cdot 7 \cdot 3} = \sqrt{3^2 \cdot 5^2 \cdot 7} = 3 \cdot 5 \sqrt{7} = 15\sqrt{7}$ см$^2$.

Площадь всего параллелограмма в четыре раза больше площади этого треугольника:

$S_{\text{пар}} = 4 \cdot S_{\text{тр}} = 4 \cdot 15\sqrt{7} = 60\sqrt{7}$ см$^2$.

Ответ: $60\sqrt{7}$ см$^2$.