Номер 12.4, страница 158 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

12.4. a) Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник со сторонами 13, 17, 22.

б) Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник со сторонами 14, 18, 24.

а) Для нахождения радиуса вписанной окружности $r$ воспользуемся формулой $r = \frac{S}{p}$, где $S$ — площадь треугольника, а $p$ — его полупериметр.

Заданы стороны треугольника: $a=13$, $b=17$, $c=22$.

Сначала вычислим полупериметр треугольника $p$:
$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{13+17+22}{2} = \frac{52}{2} = 26$.

Далее, вычислим площадь треугольника $S$ по формуле Герона:
$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$
$S = \sqrt{26(26-13)(26-17)(26-22)} = \sqrt{26 \cdot 13 \cdot 9 \cdot 4}$
Чтобы извлечь корень, разложим подкоренное выражение на множители: $S = \sqrt{(2 \cdot 13) \cdot 13 \cdot 3^2 \cdot 2^2} = \sqrt{2^3 \cdot 3^2 \cdot 13^2} = \sqrt{2 \cdot (2^2 \cdot 3^2 \cdot 13^2)} = (2 \cdot 3 \cdot 13)\sqrt{2} = 78\sqrt{2}$.

Теперь можем найти радиус вписанной окружности:
$r = \frac{S}{p} = \frac{78\sqrt{2}}{26} = 3\sqrt{2}$.

Ответ: $3\sqrt{2}$.

б) Аналогично найдем радиус вписанной окружности для треугольника со сторонами $a=14$, $b=18$, $c=24$.

Сначала вычислим полупериметр треугольника $p$:
$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{14+18+24}{2} = \frac{56}{2} = 28$.

Далее, вычислим площадь треугольника $S$ по формуле Герона:
$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$
$S = \sqrt{28(28-14)(28-18)(28-24)} = \sqrt{28 \cdot 14 \cdot 10 \cdot 4}$
Разложим подкоренное выражение на множители для извлечения корня: $S = \sqrt{(2^2 \cdot 7) \cdot (2 \cdot 7) \cdot (2 \cdot 5) \cdot 2^2} = \sqrt{2^6 \cdot 7^2 \cdot 5} = \sqrt{(2^3 \cdot 7)^2 \cdot 5} = (2^3 \cdot 7)\sqrt{5} = 56\sqrt{5}$.

Теперь найдем радиус вписанной окружности:
$r = \frac{S}{p} = \frac{56\sqrt{5}}{28} = 2\sqrt{5}$.

Ответ: $2\sqrt{5}$.