Номер 12.6, страница 158 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

12.6. a) В треугольнике $ABC$ $AB = 6 \text{ см}$, $BC = 14 \text{ см}$, $AC = 16 \text{ см}$. Найдите радиус окружности, которая касается сторон $AB$ и $AC$, зная, что ее центр лежит на стороне $BC$.

б) В треугольнике $ABC$ $AB = 9 \text{ см}$, $BC = 13 \text{ см}$, $AC = 20 \text{ см}$. Найдите радиус окружности, которая касается сторон $BC$ и $AC$, зная, что ее центр лежит на стороне $AB$.

а) Пусть O — центр окружности, а r — её радиус. Так как окружность касается сторон AB и AC, её центр O равноудален от этих сторон. Это означает, что точка O лежит на биссектрисе угла BAC. По условию, центр O также лежит на стороне BC. Следовательно, O — это точка пересечения биссектрисы угла A со стороной BC. Обозначим эту точку как L.
По свойству биссектрисы угла треугольника, она делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам:
$ \frac{BL}{LC} = \frac{AB}{AC} $
Подставляя данные из условия, $AB = 6$ см, $AC = 16$ см, получаем:
$ \frac{BL}{LC} = \frac{6}{16} = \frac{3}{8} $
Также известно, что $BL + LC = BC = 14$ см. Решим систему уравнений:
$ BL = \frac{3}{8}LC $
$ \frac{3}{8}LC + LC = 14 \implies \frac{11}{8}LC = 14 \implies LC = \frac{14 \cdot 8}{11} = \frac{112}{11} $ см.
Радиус окружности r — это расстояние от её центра L до касательной AC. Опустим перпендикуляр LH из точки L на сторону AC. В образовавшемся прямоугольном треугольнике LHC (с прямым углом H) радиус $r = LH$. Из определения синуса:
$ r = LH = LC \cdot \sin C $
Найдем $\sin C$ для треугольника ABC. По теореме косинусов:
$ AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos C $
$ 6^2 = 16^2 + 14^2 - 2 \cdot 16 \cdot 14 \cdot \cos C $
$ 36 = 256 + 196 - 448 \cos C $
$ 36 = 452 - 448 \cos C $
$ 448 \cos C = 452 - 36 = 416 $
$ \cos C = \frac{416}{448} = \frac{13}{14} $
Теперь найдем синус, используя основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 C + \cos^2 C = 1 $. Поскольку C — угол треугольника, $ \sin C > 0 $.
$ \sin C = \sqrt{1 - \cos^2 C} = \sqrt{1 - \left(\frac{13}{14}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{169}{196}} = \sqrt{\frac{196 - 169}{196}} = \sqrt{\frac{27}{196}} = \frac{\sqrt{9 \cdot 3}}{14} = \frac{3\sqrt{3}}{14} $
Теперь можем вычислить радиус:
$ r = LC \cdot \sin C = \frac{112}{11} \cdot \frac{3\sqrt{3}}{14} = \frac{8 \cdot 14}{11} \cdot \frac{3\sqrt{3}}{14} = \frac{8 \cdot 3\sqrt{3}}{11} = \frac{24\sqrt{3}}{11} $ см.
Ответ: $r = \frac{24\sqrt{3}}{11}$ см.

б) Аналогично пункту а), центр окружности O лежит на биссектрисе угла, образованного сторонами, которых касается окружность. В данном случае это биссектриса угла BCA. По условию, центр O лежит на стороне AB. Значит, O — это точка пересечения биссектрисы угла C со стороной AB. Обозначим эту точку как L.
По свойству биссектрисы угла треугольника:
$ \frac{AL}{LB} = \frac{AC}{BC} $
Подставляя данные из условия, $AC = 20$ см, $BC = 13$ см, получаем:
$ \frac{AL}{LB} = \frac{20}{13} $
Также известно, что $AL + LB = AB = 9$ см. Решим систему уравнений:
$ AL = \frac{20}{13}LB $
$ \frac{20}{13}LB + LB = 9 \implies \frac{33}{13}LB = 9 \implies LB = \frac{9 \cdot 13}{33} = \frac{3 \cdot 13}{11} = \frac{39}{11} $ см.
Радиус окружности r — это расстояние от центра L до касательной BC. Опустим перпендикуляр LH из точки L на сторону BC. В образовавшемся прямоугольном треугольнике LHB (с прямым углом H) радиус $r = LH$. Из определения синуса:
$ r = LH = LB \cdot \sin B $
Найдем $\sin B$ для треугольника ABC. По теореме косинусов:
$ AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos B $
$ 20^2 = 9^2 + 13^2 - 2 \cdot 9 \cdot 13 \cdot \cos B $
$ 400 = 81 + 169 - 234 \cos B $
$ 400 = 250 - 234 \cos B $
$ 234 \cos B = 250 - 400 = -150 $
$ \cos B = -\frac{150}{234} = -\frac{25}{39} $
Найдем синус угла B:
$ \sin B = \sqrt{1 - \cos^2 B} = \sqrt{1 - \left(-\frac{25}{39}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{625}{1521}} = \sqrt{\frac{1521 - 625}{1521}} = \sqrt{\frac{896}{1521}} = \frac{\sqrt{64 \cdot 14}}{39} = \frac{8\sqrt{14}}{39} $
Теперь можем вычислить радиус:
$ r = LB \cdot \sin B = \frac{39}{11} \cdot \frac{8\sqrt{14}}{39} = \frac{8\sqrt{14}}{11} $ см.
Ответ: $r = \frac{8\sqrt{14}}{11}$ см.