Номер 12.5, страница 158 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

12.5. a) Найдите наименьшую высоту треугольника со сторонами 5 см, 7 см и 9 см.

б) Найдите наибольшую высоту треугольника со сторонами 6 см, 11 см и 15 см.

а)

Площадь треугольника $S$ может быть вычислена через любую его сторону и высоту, проведенную к этой стороне, по формуле $S = \frac{1}{2}ah$, где $a$ — сторона, а $h$ — высота к ней. Для треугольника со сторонами $a_1, a_2, a_3$ и соответствующими высотами $h_1, h_2, h_3$ справедливо равенство:

$2S = a_1 h_1 = a_2 h_2 = a_3 h_3$

Из этого следует, что высота обратно пропорциональна стороне, к которой она проведена. Следовательно, наименьшая высота будет проведена к наибольшей стороне.

В данном треугольнике стороны равны 5 см, 7 см и 9 см. Наибольшая сторона — 9 см. Найдем высоту, проведенную к этой стороне.

Сначала вычислим площадь треугольника по формуле Герона: $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p$ — полупериметр.

1. Найдем полупериметр $p$:

$p = \frac{5 + 7 + 9}{2} = \frac{21}{2} = 10,5$ см.

2. Найдем площадь $S$:

$S = \sqrt{10,5(10,5 - 5)(10,5 - 7)(10,5 - 9)} = \sqrt{10,5 \cdot 5,5 \cdot 3,5 \cdot 1,5}$

$S = \sqrt{\frac{21}{2} \cdot \frac{11}{2} \cdot \frac{7}{2} \cdot \frac{3}{2}} = \sqrt{\frac{21 \cdot 11 \cdot 7 \cdot 3}{16}} = \sqrt{\frac{(3 \cdot 7) \cdot 11 \cdot 7 \cdot 3}{16}} = \sqrt{\frac{9 \cdot 49 \cdot 11}{16}} = \frac{3 \cdot 7 \sqrt{11}}{4} = \frac{21\sqrt{11}}{4}$ см².

3. Теперь найдем наименьшую высоту $h_{min}$, проведенную к стороне 9 см:

$S = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot h_{min}$

$h_{min} = \frac{2S}{9} = \frac{2 \cdot \frac{21\sqrt{11}}{4}}{9} = \frac{\frac{21\sqrt{11}}{2}}{9} = \frac{21\sqrt{11}}{18} = \frac{7\sqrt{11}}{6}$ см.

Ответ: $\frac{7\sqrt{11}}{6}$ см.

б)

Как было установлено в предыдущем пункте, высота обратно пропорциональна стороне, к которой она проведена. Следовательно, наибольшая высота будет проведена к наименьшей стороне.

В данном треугольнике стороны равны 6 см, 11 см и 15 см. Наименьшая сторона — 6 см. Найдем высоту, проведенную к этой стороне.

Сначала вычислим площадь треугольника по формуле Герона.

1. Найдем полупериметр $p$:

$p = \frac{6 + 11 + 15}{2} = \frac{32}{2} = 16$ см.

2. Найдем площадь $S$:

$S = \sqrt{16(16 - 6)(16 - 11)(16 - 15)} = \sqrt{16 \cdot 10 \cdot 5 \cdot 1} = \sqrt{16 \cdot 50} = \sqrt{16 \cdot 25 \cdot 2} = 4 \cdot 5\sqrt{2} = 20\sqrt{2}$ см².

3. Теперь найдем наибольшую высоту $h_{max}$, проведенную к стороне 6 см:

$S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot h_{max}$

$20\sqrt{2} = 3 \cdot h_{max}$

$h_{max} = \frac{20\sqrt{2}}{3}$ см.

Ответ: $\frac{20\sqrt{2}}{3}$ см.