Номер 12.1, страница 157 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

12.1. По данным рисунков 233, а)–з) найдите неизвестные величины.

а) $S_{\triangle ABC} - ?$

б) $R_{\triangle ABC} - ?$

в) $h - ?$

г) $\sin \alpha - ?$

д) $r_{\triangle ABC} - ?$

е) $AN = 7,5$, $BM = 6$; $S_{\triangle ABC} - ?$

ж) $ABCD$ — параллелограмм; $S_{ABCD} - ?$

з) $BC \parallel AD$; $S_{ABCD} - ?$

Рис. 233

а) S_ΔABC — ?

Для нахождения площади треугольника $S_{\triangle ABC}$ по трем известным сторонам $a=9$, $b=10$, $c=3$ воспользуемся формулой Герона: $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p$ — полупериметр треугольника.

1. Найдем полупериметр $p$:
$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{9+10+3}{2} = \frac{22}{2} = 11$.

2. Вычислим значения выражений в скобках:
$p-a = 11 - 9 = 2$
$p-b = 11 - 10 = 1$
$p-c = 11 - 3 = 8$

3. Подставим найденные значения в формулу Герона:
$S_{\triangle ABC} = \sqrt{11 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 8} = \sqrt{176} = \sqrt{16 \cdot 11} = 4\sqrt{11}$.

Ответ: $4\sqrt{11}$.

б) R_ΔABC — ?

Для нахождения радиуса описанной окружности $R_{\triangle ABC}$ воспользуемся формулой $R = \frac{abc}{4S}$, где $a, b, c$ — стороны треугольника, а $S$ — его площадь. В данном треугольнике стороны равны $a=6$, $b=7$, $c=3$.

1. Сначала найдем площадь треугольника $S$ по формуле Герона. Вычислим полупериметр $p$:
$p = \frac{6+7+3}{2} = \frac{16}{2} = 8$.

2. Вычислим площадь $S$:
$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{8(8-6)(8-7)(8-3)} = \sqrt{8 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 5} = \sqrt{80} = \sqrt{16 \cdot 5} = 4\sqrt{5}$.

3. Теперь найдем радиус описанной окружности $R$:
$R = \frac{abc}{4S} = \frac{6 \cdot 7 \cdot 3}{4 \cdot 4\sqrt{5}} = \frac{126}{16\sqrt{5}} = \frac{63}{8\sqrt{5}}$.

4. Избавимся от иррациональности в знаменателе:
$R = \frac{63\sqrt{5}}{8\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{63\sqrt{5}}{8 \cdot 5} = \frac{63\sqrt{5}}{40}$.

Ответ: $\frac{63\sqrt{5}}{40}$.

в) h — ?

Чтобы найти высоту $h$, опущенную на сторону длиной 6, можно сначала найти площадь всего треугольника, а затем использовать формулу площади $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot h$. Стороны треугольника равны 5, 7 и 6.

1. Найдем площадь треугольника $S$ по формуле Герона. Полупериметр $p$:
$p = \frac{5+7+6}{2} = \frac{18}{2} = 9$.

2. Вычислим площадь $S$:
$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{9(9-5)(9-7)(9-6)} = \sqrt{9 \cdot 4 \cdot 2 \cdot 3} = \sqrt{216} = \sqrt{36 \cdot 6} = 6\sqrt{6}$.

3. Теперь найдем высоту $h$, используя формулу площади. Основание равно 6.
$S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot h \implies 6\sqrt{6} = 3h$.
$h = \frac{6\sqrt{6}}{3} = 2\sqrt{6}$.

Ответ: $2\sqrt{6}$.

г) sin α — ?

Для нахождения синуса угла $\alpha$ в треугольнике со сторонами 2, 3 и 4, воспользуемся теоремой косинусов. Угол $\alpha$ лежит между сторонами длиной 2 и 4, а сторона напротив него равна 3.

1. По теореме косинусов: $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos \alpha$.
$3^2 = 2^2 + 4^2 - 2 \cdot 2 \cdot 4 \cdot \cos \alpha$
$9 = 4 + 16 - 16 \cos \alpha$
$9 = 20 - 16 \cos \alpha$
$16 \cos \alpha = 20 - 9 = 11$
$\cos \alpha = \frac{11}{16}$.

2. Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, найдем $\sin \alpha$. Так как $\alpha$ — угол треугольника, $\sin \alpha > 0$.
$\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha = 1 - \left(\frac{11}{16}\right)^2 = 1 - \frac{121}{256} = \frac{256 - 121}{256} = \frac{135}{256}$.
$\sin \alpha = \sqrt{\frac{135}{256}} = \frac{\sqrt{9 \cdot 15}}{16} = \frac{3\sqrt{15}}{16}$.

Ответ: $\frac{3\sqrt{15}}{16}$.

д) r_ΔABC — ?

Для нахождения радиуса вписанной окружности $r_{\triangle ABC}$ воспользуемся формулой $r = \frac{S}{p}$, где $S$ — площадь треугольника, а $p$ — его полупериметр. Стороны треугольника равны 4, 13 и 15.

1. Найдем полупериметр $p$:
$p = \frac{4+13+15}{2} = \frac{32}{2} = 16$.

2. Вычислим площадь $S$ по формуле Герона:
$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{16(16-4)(16-13)(16-15)} = \sqrt{16 \cdot 12 \cdot 3 \cdot 1} = \sqrt{16 \cdot 36} = 4 \cdot 6 = 24$.

3. Найдем радиус вписанной окружности $r$:
$r = \frac{S}{p} = \frac{24}{16} = \frac{3}{2} = 1.5$.

Ответ: 1,5.

е) AN = 7,5, BM = 6; S_ΔABC — ?

На рисунке даны медианы $AN = m_a = 7.5$ и $BM = m_b = 6$, а также сторона $AB = c = 6$. Медианы треугольника пересекаются в одной точке (центроиде) O и делятся ею в отношении 2:1, считая от вершины.

1. Найдем длины отрезков $AO$ и $BO$ в треугольнике $\triangle AOB$:
$AO = \frac{2}{3}AN = \frac{2}{3} \cdot 7.5 = 5$
$BO = \frac{2}{3}BM = \frac{2}{3} \cdot 6 = 4$

2. Теперь мы знаем все три стороны треугольника $\triangle AOB$: $AO=5$, $BO=4$, $AB=6$. Найдем его площадь $S_{\triangle AOB}$ по формуле Герона.
Полупериметр $p_{AOB} = \frac{5+4+6}{2} = \frac{15}{2} = 7.5$.
$S_{\triangle AOB} = \sqrt{7.5(7.5-5)(7.5-4)(7.5-6)} = \sqrt{7.5 \cdot 2.5 \cdot 3.5 \cdot 1.5} = \sqrt{\frac{15}{2} \cdot \frac{5}{2} \cdot \frac{7}{2} \cdot \frac{3}{2}} = \frac{\sqrt{1575}}{4} = \frac{\sqrt{225 \cdot 7}}{4} = \frac{15\sqrt{7}}{4}$.

3. Площадь всего треугольника $\triangle ABC$ в три раза больше площади треугольника $\triangle AOB$, так как медиана делит треугольник на два равновеликих, а три медианы делят его на шесть равновеликих треугольников ($S_{\triangle ABC} = 3 \cdot S_{\triangle AOB}$).
$S_{\triangle ABC} = 3 \cdot S_{\triangle AOB} = 3 \cdot \frac{15\sqrt{7}}{4} = \frac{45\sqrt{7}}{4}$.

Ответ: $\frac{45\sqrt{7}}{4}$.

ж) ABCD — параллелограмм; S_ABCD — ?

Дан параллелограмм ABCD со сторонами $AD=5$ и $AB=3$. На рисунке одинаковыми штрихами отмечены сторона $AB$ и отрезок $AO$, где O — точка пересечения диагоналей. Это означает, что их длины равны: $AO = AB = 3$.

1. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, поэтому длина диагонали $AC$ равна $2 \cdot AO$.
$AC = 2 \cdot 3 = 6$.

2. Площадь параллелограмма равна удвоенной площади треугольника, образованного двумя сторонами и диагональю. Найдем площадь $\triangle ABC$. Его стороны: $AB=3$, $BC=AD=5$, $AC=6$.

3. Используем формулу Герона для $\triangle ABC$. Полупериметр $p$:
$p = \frac{3+5+6}{2} = \frac{14}{2} = 7$.

4. Площадь $\triangle ABC$:
$S_{\triangle ABC} = \sqrt{7(7-3)(7-5)(7-6)} = \sqrt{7 \cdot 4 \cdot 2 \cdot 1} = \sqrt{56} = \sqrt{4 \cdot 14} = 2\sqrt{14}$.

5. Площадь параллелограмма $S_{ABCD}$ (в условии, вероятно, опечатка S_ΔABCD):
$S_{ABCD} = 2 \cdot S_{\triangle ABC} = 2 \cdot 2\sqrt{14} = 4\sqrt{14}$.

Ответ: $4\sqrt{14}$.

з) BC || AD; S_ABCD — ?

Фигура ABCD — трапеция, так как $BC \parallel AD$. Даны основания $BC=3$, $AD=6$ и боковые стороны $AB=\sqrt{2}$, $CD=\sqrt{7}$. Площадь трапеции вычисляется по формуле $S = \frac{a+b}{2}h$, где $a$ и $b$ — основания, $h$ — высота.

1. Проведем высоты $BH$ и $CK$ из вершин B и C на основание AD. $BH = CK = h$. Четырехугольник HBCK — прямоугольник, поэтому $HK=BC=3$.

2. Обозначим длину отрезка $AH$ как $x$. Тогда $KD = AD - AH - HK = 6 - x - 3 = 3-x$.

3. Рассмотрим два прямоугольных треугольника $\triangle ABH$ и $\triangle CDK$. По теореме Пифагора:
Из $\triangle ABH$: $h^2 + x^2 = (\sqrt{2})^2 \implies h^2 = 2 - x^2$.
Из $\triangle CDK$: $h^2 + (3-x)^2 = (\sqrt{7})^2 \implies h^2 = 7 - (3-x)^2$.

4. Приравняем выражения для $h^2$ и решим уравнение относительно $x$:
$2 - x^2 = 7 - (9 - 6x + x^2)$
$2 - x^2 = 7 - 9 + 6x - x^2$
$2 = -2 + 6x$
$4 = 6x \implies x = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.

5. Найдем высоту $h$:
$h^2 = 2 - x^2 = 2 - (\frac{2}{3})^2 = 2 - \frac{4}{9} = \frac{18-4}{9} = \frac{14}{9}$.
$h = \sqrt{\frac{14}{9}} = \frac{\sqrt{14}}{3}$.

6. Вычислим площадь трапеции:
$S_{ABCD} = \frac{AD+BC}{2} \cdot h = \frac{6+3}{2} \cdot \frac{\sqrt{14}}{3} = \frac{9}{2} \cdot \frac{\sqrt{14}}{3} = \frac{3\sqrt{14}}{2}$.

Ответ: $\frac{3\sqrt{14}}{2}$.