Номер 11.5, страница 156 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

11.5. а) Один из углов треугольника равен 120°, противолежащая ему сторона — $2\sqrt{7}$ см. Найдите две другие стороны треугольника, если они относятся как 1 : 2.

б) Один из углов треугольника равен 135°, противолежащая ему сторона — $2\sqrt{10}$ см. Найдите две другие стороны треугольника, если они относятся как $\sqrt{2}:1$.

а)

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой косинусов. Пусть стороны треугольника равны a, b и c. Угол, противолежащий стороне c, равен γ. Теорема косинусов гласит: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma)$.

По условию, один из углов равен $120°$. Пусть это будет угол γ. Противолежащая ему сторона $c = 2\sqrt{7}$ см. Две другие стороны, a и b, относятся как $1:2$.

Пусть сторона $a = x$ см, тогда сторона $b = 2x$ см, где x – некоторый положительный коэффициент.

Подставим известные значения в формулу теоремы косинусов:

$(2\sqrt{7})^2 = x^2 + (2x)^2 - 2 \cdot x \cdot 2x \cdot \cos(120°)$

Зная, что $\cos(120°) = -1/2$, упростим уравнение:

$4 \cdot 7 = x^2 + 4x^2 - 4x^2 \cdot (-\frac{1}{2})$

$28 = 5x^2 + 2x^2$

$28 = 7x^2$

$x^2 = \frac{28}{7} = 4$

Так как длина стороны не может быть отрицательной, $x = \sqrt{4} = 2$.

Теперь найдем длины искомых сторон:

$a = x = 2$ см

$b = 2x = 2 \cdot 2 = 4$ см

Ответ: 2 см и 4 см.

б)

Аналогично предыдущему пункту, используем теорему косинусов: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma)$.

По условию, угол $\gamma = 135°$, а противолежащая ему сторона $c = 2\sqrt{10}$ см. Две другие стороны, a и b, относятся как $\sqrt{2}:1$.

Пусть сторона $b = x$ см, тогда сторона $a = \sqrt{2}x$ см.

Подставим значения в формулу:

$(2\sqrt{10})^2 = (\sqrt{2}x)^2 + x^2 - 2 \cdot \sqrt{2}x \cdot x \cdot \cos(135°)$

Зная, что $\cos(135°) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, упростим уравнение:

$4 \cdot 10 = 2x^2 + x^2 - 2\sqrt{2}x^2 \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2})$

$40 = 3x^2 + \frac{2 \cdot (\sqrt{2})^2}{2}x^2$

$40 = 3x^2 + \frac{2 \cdot 2}{2}x^2$

$40 = 3x^2 + 2x^2$

$40 = 5x^2$

$x^2 = \frac{40}{5} = 8$

$x = \sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$.

Теперь найдем длины искомых сторон:

$b = x = 2\sqrt{2}$ см

$a = \sqrt{2}x = \sqrt{2} \cdot 2\sqrt{2} = 2 \cdot 2 = 4$ см

Ответ: 4 см и $2\sqrt{2}$ см.