Номер 11.3, страница 155 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

11.3. a) Определите вид треугольника (остроугольный, прямоугольный, тупоугольный), если его стороны равны $5\sqrt{3}$ см, 7 см, $2\sqrt{3}$ см.

б) Определите вид треугольника (остроугольный, прямоугольный, тупоугольный), если его стороны относятся как $2 : 7 : 8$.

а)

Чтобы определить вид треугольника (остроугольный, прямоугольный или тупоугольный) по его сторонам, можно использовать следствие из теоремы косинусов. Пусть $a$, $b$ и $c$ — стороны треугольника, причем $c$ — наибольшая из них. Тогда:

• Если $c^2 < a^2 + b^2$, то треугольник остроугольный.
• Если $c^2 = a^2 + b^2$, то треугольник прямоугольный.
• Если $c^2 > a^2 + b^2$, то треугольник тупоугольный.

Даны стороны треугольника: $5\sqrt{3}$ см, $7$ см, $2\sqrt{3}$ см.

Сначала найдем наибольшую сторону. Для этого сравним их значения, для удобства возведя их в квадрат:

• $(5\sqrt{3})^2 = 25 \cdot 3 = 75$
• $7^2 = 49$
• $(2\sqrt{3})^2 = 4 \cdot 3 = 12$

Поскольку $75$ — наибольшее значение, то наибольшая сторона $c = 5\sqrt{3}$ см. Две другие стороны — $a = 7$ см и $b = 2\sqrt{3}$ см.

Теперь сравним квадрат наибольшей стороны с суммой квадратов двух других сторон:

$c^2 = 75$

$a^2 + b^2 = 7^2 + (2\sqrt{3})^2 = 49 + 12 = 61$

Так как $75 > 61$, то выполняется неравенство $c^2 > a^2 + b^2$. Следовательно, треугольник является тупоугольным.

Ответ: тупоугольный.

б)

Воспользуемся тем же методом. Стороны треугольника относятся как $2:7:8$. Пусть длины сторон равны $a = 2k$, $b = 7k$ и $c = 8k$, где $k$ — положительный коэффициент пропорциональности.

Наибольшая сторона — $c = 8k$.

Найдем квадрат наибольшей стороны и сумму квадратов двух других сторон:

$c^2 = (8k)^2 = 64k^2$

$a^2 + b^2 = (2k)^2 + (7k)^2 = 4k^2 + 49k^2 = 53k^2$

Сравним полученные значения:

$64k^2$ и $53k^2$

Поскольку $k > 0$, то $k^2 > 0$, и так как $64 > 53$, то $64k^2 > 53k^2$.

Таким образом, выполняется неравенство $c^2 > a^2 + b^2$, а это значит, что треугольник является тупоугольным.

Ответ: тупоугольный.