Номер 10.9, страница 153 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

10.9. а) ABCD — вписанный четырехугольник, диагональ AC равна $\sqrt{5}$ см, а косинус угла ABC равен $-\frac{2}{3}$. Найдите радиус окружности, описанной около ABCD.

б) Трапеция ABCD вписана в окружность. Найдите радиус окружности, если AC = $3\sqrt{2}$ см, $\cos \angle BCD = -\frac{1}{3}$.

а)

Поскольку четырехугольник $ABCD$ вписан в окружность, все его вершины лежат на этой окружности. Окружность, описанная около четырехугольника $ABCD$, является также описанной окружностью для любого треугольника, образованного тремя его вершинами, например, для треугольника $ABC$.

Для нахождения радиуса $R$ описанной окружности треугольника $ABC$ воспользуемся следствием из теоремы синусов, которое связывает сторону треугольника, синус противолежащего угла и радиус описанной окружности:$ \frac{a}{\sin \alpha} = 2R $где $a$ — сторона треугольника, а $\alpha$ — противолежащий ей угол.

В треугольнике $ABC$ нам известна сторона $AC = \sqrt{5}$ см и косинус противолежащего угла $\angle ABC$, который равен $-\frac{2}{3}$.

Чтобы применить теорему синусов, нам нужно найти синус угла $\angle ABC$. Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$.$ \sin^2 \angle ABC = 1 - \cos^2 \angle ABC = 1 - \left(-\frac{2}{3}\right)^2 = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9} $

Угол в треугольнике может быть от $0^\circ$ до $180^\circ$. Синус любого угла в этом диапазоне является положительным числом. Поэтому:$ \sin \angle ABC = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3} $

Теперь подставим известные значения в формулу:$ 2R = \frac{AC}{\sin \angle ABC} = \frac{\sqrt{5}}{\frac{\sqrt{5}}{3}} $

Выполним вычисления:$ 2R = \sqrt{5} \cdot \frac{3}{\sqrt{5}} = 3 $

Отсюда находим радиус $R$:$ R = \frac{3}{2} = 1.5 $ см.

Ответ: $1.5$ см.

б)

Известно, что трапецию можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда она является равнобедренной. В равнобедренной трапеции углы при любом из оснований равны.

Пусть $AD$ и $BC$ — основания трапеции $ABCD$. Тогда углы при основании $BC$ равны: $\angle ABC = \angle BCD$. (Если бы основаниями были $AB$ и $CD$, то трапеция была бы параллелограммом, а вписанный параллелограмм — это прямоугольник, у которого косинусы углов равны 0, что противоречит условию $\cos \angle BCD = -\frac{1}{3}$).

Следовательно, $\cos \angle ABC = \cos \angle BCD = -\frac{1}{3}$.

Радиус окружности, описанной около трапеции, совпадает с радиусом окружности, описанной около треугольника $ABC$. Как и в предыдущем пункте, воспользуемся следствием из теоремы синусов для треугольника $ABC$.

Нам известна сторона $AC = 3\sqrt{2}$ см и косинус противолежащего угла $\angle ABC$. Найдем синус этого угла:$ \sin^2 \angle ABC = 1 - \cos^2 \angle ABC = 1 - \left(-\frac{1}{3}\right)^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9} $

Так как синус угла в треугольнике положителен:$ \sin \angle ABC = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{\sqrt{8}}{3} = \frac{2\sqrt{2}}{3} $

Применим теорему синусов для треугольника $ABC$:$ 2R = \frac{AC}{\sin \angle ABC} = \frac{3\sqrt{2}}{\frac{2\sqrt{2}}{3}} $

Проведем вычисления:$ 2R = 3\sqrt{2} \cdot \frac{3}{2\sqrt{2}} = \frac{9 \cdot \sqrt{2}}{2 \cdot \sqrt{2}} = \frac{9}{2} $

Найдем радиус $R$:$ R = \frac{9}{4} = 2.25 $ см.

Ответ: $2.25$ см.