Номер 10.2, страница 151 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

10.2. a) В треугольнике $ABC$ синус угла $A$ равен $\frac{2\sqrt{6}}{7}$, синус угла $C$ равен $\frac{12\sqrt{6}}{35}$, а сторона $BC$ равна 5 см. Найдите $AB$.

б) В треугольнике $ABC$ синус угла $B$ равен $\frac{2\sqrt{6}}{5}$, сторона $AB$ равна 6 см, а сторона $AC$ — 7 см. Найдите синус угла $C$.

а) Для решения этой задачи воспользуемся теоремой синусов. Теорема синусов гласит, что стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов:

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$

В треугольнике $ABC$ сторона $BC$ лежит напротив угла $A$, а сторона $AB$ — напротив угла $C$. Таким образом, мы можем записать соотношение:

$\frac{BC}{\sin A} = \frac{AB}{\sin C}$

Подставим известные значения из условия задачи:

$BC = 5$ см

$\sin A = \frac{2\sqrt{6}}{7}$

$\sin C = \frac{12\sqrt{6}}{35}$

Получаем следующее уравнение:

$\frac{5}{\frac{2\sqrt{6}}{7}} = \frac{AB}{\frac{12\sqrt{6}}{35}}$

Выразим $AB$ из этого уравнения:

$AB = \frac{5 \cdot \frac{12\sqrt{6}}{35}}{\frac{2\sqrt{6}}{7}}$

Для упрощения дроби умножим числитель на перевернутый знаменатель:

$AB = 5 \cdot \frac{12\sqrt{6}}{35} \cdot \frac{7}{2\sqrt{6}}$

Сократим одинаковые множители $\sqrt{6}$ в числителе и знаменателе:

$AB = 5 \cdot \frac{12}{35} \cdot \frac{7}{2}$

Выполним оставшиеся вычисления:

$AB = \frac{5 \cdot 12 \cdot 7}{35 \cdot 2} = \frac{420}{70} = 6$

Ответ: $AB = 6$ см.

б) Для решения этой задачи также воспользуемся теоремой синусов. В треугольнике $ABC$ сторона $AC$ лежит напротив угла $B$, а сторона $AB$ — напротив угла $C$. Запишем соответствующее соотношение:

$\frac{AC}{\sin B} = \frac{AB}{\sin C}$

Подставим известные значения из условия задачи:

$AB = 6$ см

$AC = 7$ см

$\sin B = \frac{2\sqrt{6}}{5}$

Получаем следующее уравнение:

$\frac{7}{\frac{2\sqrt{6}}{5}} = \frac{6}{\sin C}$

Выразим $\sin C$ из этого уравнения, используя свойство пропорции:

$\sin C \cdot 7 = 6 \cdot \frac{2\sqrt{6}}{5}$

$\sin C = \frac{6 \cdot \frac{2\sqrt{6}}{5}}{7}$

Выполним вычисления:

$\sin C = \frac{\frac{12\sqrt{6}}{5}}{7} = \frac{12\sqrt{6}}{5 \cdot 7} = \frac{12\sqrt{6}}{35}$

Ответ: $\sin C = \frac{12\sqrt{6}}{35}$.