Номер 9.16, страница 149 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

9.16. а) Концы большей боковой стороны прямоугольной трапеции находятся на расстояниях $\sqrt{2}$ и $2\sqrt{2}$ от центра вписанной в трапецию окружности. Найдите площадь трапеции.

б) Радиус окружности, вписанной в прямоугольную трапецию, равен 3. Найдите площадь трапеции, если ее меньшее основание равно 4.

а)

Пусть дана прямоугольная трапеция, в которую вписана окружность с центром в точке $O$ и радиусом $r$. Пусть большая боковая сторона (которая не перпендикулярна основаниям) – это отрезок $BC$. По условию, расстояния от центра $O$ до концов этой стороны равны $OC = \sqrt{2}$ и $OB = 2\sqrt{2}$.

Центр вписанной в многоугольник окружности лежит на пересечении биссектрис его углов. Таким образом, отрезки $OC$ и $OB$ являются биссектрисами углов $\angle BCD$ и $\angle ABC$ трапеции соответственно.

Сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, равна $180^\circ$, то есть $\angle ABC + \angle BCD = 180^\circ$.

Рассмотрим треугольник $BOC$. Сумма его углов $\angle OBC$ и $\angle OCB$ равна:
$\angle OBC + \angle OCB = \frac{1}{2}\angle ABC + \frac{1}{2}\angle BCD = \frac{1}{2}(\angle ABC + \angle BCD) = \frac{1}{2} \cdot 180^\circ = 90^\circ$.

Следовательно, третий угол треугольника $BOC$, $\angle BOC$, равен $180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. Это означает, что треугольник $BOC$ является прямоугольным с гипотенузой $BC$.

По теореме Пифагора найдем длину стороны $BC$:
$BC^2 = OB^2 + OC^2 = (2\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2 = 8 + 2 = 10$.
$BC = \sqrt{10}$.

Радиус вписанной окружности $r$ является высотой треугольника $BOC$, проведенной из вершины $O$ к гипотенузе $BC$. Площадь треугольника $BOC$ можно вычислить двумя способами:
$S_{\triangle BOC} = \frac{1}{2} \cdot OB \cdot OC = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2$.
$S_{\triangle BOC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot r = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{10} \cdot r$.

Приравняем эти два выражения:
$2 = \frac{\sqrt{10}}{2}r$, откуда $r = \frac{4}{\sqrt{10}}$.

Высота прямоугольной трапеции $h$ равна диаметру вписанной окружности: $h = 2r = 2 \cdot \frac{4}{\sqrt{10}} = \frac{8}{\sqrt{10}}$.

Для четырехугольника, в который можно вписать окружность, суммы длин противоположных сторон равны. Обозначим основания трапеции как $a$ и $b$, а боковые стороны как $h$ и $BC$. Тогда $a+b = h+BC$.

Площадь трапеции вычисляется по формуле $S = \frac{a+b}{2}h$. Подставим сюда выражение для суммы оснований:
$S = \frac{h+BC}{2} \cdot h = \frac{\frac{8}{\sqrt{10}} + \sqrt{10}}{2} \cdot \frac{8}{\sqrt{10}} = \frac{\frac{8+10}{\sqrt{10}}}{2} \cdot \frac{8}{\sqrt{10}} = \frac{18}{2\sqrt{10}} \cdot \frac{8}{\sqrt{10}} = \frac{9}{\sqrt{10}} \cdot \frac{8}{\sqrt{10}} = \frac{72}{10} = 7.2$.

Ответ: 7.2

б)

Пусть дана прямоугольная трапеция $ABCD$, где $\angle A = \angle D = 90^\circ$. $AB$ и $CD$ – основания, $AD$ – высота. По условию, радиус вписанной окружности $r=3$, а меньшее основание равно 4.

Высота трапеции равна диаметру вписанной окружности: $h = AD = 2r = 2 \cdot 3 = 6$.

Пусть точки касания вписанной окружности со сторонами $AB, BC, CD, DA$ будут $P, Q, R, S$ соответственно.
Поскольку $\angle A = 90^\circ$, четырехугольник $APOS$ (где $O$ - центр окружности) является квадратом со стороной $r$. Следовательно, $AP = AS = r = 3$.
Аналогично, так как $\angle D = 90^\circ$, четырехугольник $DSOR$ является квадратом со стороной $r$. Следовательно, $DR = DS = r = 3$.

Пусть меньшее основание – это $AB=4$. Тогда $AB = AP + PB = 3 + PB = 4$, откуда $PB = 1$.
По свойству касательных, проведенных из одной точки, $BQ = PB = 1$.

Пусть $CQ = x$. Тогда $CR = CQ = x$.
Теперь мы можем выразить длины всех сторон трапеции:
Меньшее основание: $AB = AP + PB = 3+1 = 4$.
Высота: $AD = AS + SD = 3+3 = 6$.
Большее основание: $CD = CR + RD = x+3$.
Большая боковая сторона: $BC = BQ + QC = 1+x$.

Проведем высоту $BH$ из вершины $B$ к основанию $CD$. Получим прямоугольный треугольник $BHC$.
В этом треугольнике:
Катет $BH = AD = 6$.
Катет $HC = CD - DH = CD - AB = (x+3) - 4 = x-1$.
Гипотенуза $BC = 1+x$.

По теореме Пифагора для треугольника $BHC$:
$BC^2 = BH^2 + HC^2$
$(1+x)^2 = 6^2 + (x-1)^2$
$1 + 2x + x^2 = 36 + x^2 - 2x + 1$
$2x = 36 - 2x$
$4x = 36$
$x = 9$.

Теперь найдем длину большего основания: $CD = x+3 = 9+3=12$.
Основания трапеции равны 4 и 12, высота равна 6.
Площадь трапеции:
$S = \frac{AB+CD}{2} \cdot AD = \frac{4+12}{2} \cdot 6 = \frac{16}{2} \cdot 6 = 8 \cdot 6 = 48$.

Ответ: 48