Номер 9.11, страница 148 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

9.11. a) В равнобедренную трапецию вписана окружность радиусом $R=5$. Меньшее основание трапеции в два раза меньше ее высоты ($b = h/2$). Найдите площадь трапеции.

б) В равнобедренную трапецию вписана окружность радиусом $R=4$. Высота трапеции больше меньшего основания трапеции в четыре раза ($h = 4b$). Найдите площадь трапеции.

а)

1. Поскольку в трапецию вписана окружность, её высота $h$ равна диаметру этой окружности. Радиус окружности $r=5$.
$h = 2r = 2 \cdot 5 = 10$.

2. По условию, меньшее основание трапеции, обозначим его $b$, в два раза меньше её высоты.
$b = \frac{h}{2} = \frac{10}{2} = 5$.

3. Для равнобедренной трапеции, в которую вписана окружность, существует свойство, связывающее её основания $a$ и $b$ с высотой $h$. Выведем его.
Пусть боковая сторона равна $c$. Из свойства описанного четырёхугольника следует, что сумма оснований равна сумме боковых сторон: $a+b=2c$, откуда $c = \frac{a+b}{2}$.
Если провести высоту из вершины меньшего основания, образуется прямоугольный треугольник, у которого гипотенуза — это боковая сторона $c$, один катет — высота $h$, а второй катет равен $\frac{a-b}{2}$.
По теореме Пифагора: $c^2 = h^2 + \left(\frac{a-b}{2}\right)^2$.
Подставим выражение для $c$:
$\left(\frac{a+b}{2}\right)^2 = h^2 + \left(\frac{a-b}{2}\right)^2$
$\frac{a^2+2ab+b^2}{4} = h^2 + \frac{a^2-2ab+b^2}{4}$
$a^2+2ab+b^2 = 4h^2 + a^2-2ab+b^2$
$4ab = 4h^2$
$ab = h^2$.
Теперь найдём большее основание $a$, зная $b=5$ и $h=10$:
$a \cdot 5 = 10^2$
$5a = 100$
$a = 20$.

4. Площадь трапеции $S$ вычисляется по формуле: $S = \frac{a+b}{2}h$.
$S = \frac{20+5}{2} \cdot 10 = \frac{25}{2} \cdot 10 = 25 \cdot 5 = 125$.
Ответ: 125.

б)

1. Высота трапеции $h$ равна диаметру вписанной окружности. Радиус окружности $r=4$.
$h = 2r = 2 \cdot 4 = 8$.

2. По условию, высота трапеции больше меньшего основания $b$ в четыре раза.
$h = 4b$
$8 = 4b$
$b = \frac{8}{4} = 2$.

3. Используем свойство $ab=h^2$, выведенное в предыдущем пункте для равнобедренной трапеции с вписанной окружностью. Найдём большее основание $a$, зная $b=2$ и $h=8$:
$a \cdot 2 = 8^2$
$2a = 64$
$a = 32$.

4. Площадь трапеции $S$ вычисляется по формуле: $S = \frac{a+b}{2}h$.
$S = \frac{32+2}{2} \cdot 8 = \frac{34}{2} \cdot 8 = 17 \cdot 8 = 136$.
Ответ: 136.