Номер 9.6, страница 146 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

9.6. а) Около трапеции $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$ описана окружность, угол $BCD$ равен $120^\circ$. Высота $BH$ делит основание $AD$ на отрезки, больший из которых равен 12 см. Найдите диаметр описанной около трапеции $ABCD$ окружности, если диагональ трапеции делит ее острый угол пополам.

б) Около трапеции $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$ описана окружность, угол $BCD$ в два раза больше угла $BAD$. Высота $BH$ делит основание $AD$ на отрезки, меньший из которых равен 5 см. Найдите диаметр описанной около трапеции $ABCD$ окружности, если меньшее основание трапеции равно ее боковой стороне.

а)

Поскольку трапеция $ABCD$ вписана в окружность, она является равнобедренной. Это означает, что ее боковые стороны равны ($AB = CD$), а углы при основаниях равны ($\angle BAD = \angle CDA$ и $\angle ABC = \angle BCD$).
Сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна $180^\circ$. По условию $\angle BCD = 120^\circ$, значит острый угол трапеции $\angle BAD = 180^\circ - \angle BCD = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.
По условию, диагональ трапеции делит ее острый угол пополам. Пусть диагональ $AC$ делит угол $\angle BAD$. Тогда $\angle BAC = \angle CAD = \frac{1}{2}\angle BAD = \frac{1}{2} \cdot 60^\circ = 30^\circ$.
Поскольку основания трапеции $BC$ и $AD$ параллельны, накрест лежащие углы при секущей $AC$ равны: $\angle BCA = \angle CAD = 30^\circ$.
Рассмотрим треугольник $\triangle ABC$. В нем $\angle BAC = \angle BCA = 30^\circ$, следовательно, $\triangle ABC$ — равнобедренный с основанием $AC$, и $AB = BC$.
Так как трапеция равнобедренная ($AB = CD$), то мы имеем равенство трех сторон: $AB = BC = CD$.
Проведем высоту $BH$ из вершины $B$ на основание $AD$. В прямоугольном треугольнике $\triangle ABH$ катет $AH$, прилежащий к углу $\angle BAH = 60^\circ$, равен: $AH = AB \cdot \cos(60^\circ) = AB \cdot \frac{1}{2} = \frac{AB}{2}$.
Для равнобедренной трапеции длина большего основания выражается через меньшее и проекцию боковой стороны: $AD = BC + 2AH$. Подставив $BC = AB$ и $AH = \frac{AB}{2}$, получаем: $AD = AB + 2 \cdot \frac{AB}{2} = AB + AB = 2AB$.
Высота $BH$ делит основание $AD$ на отрезки $AH = \frac{AB}{2}$ и $HD = AD - AH = 2AB - \frac{AB}{2} = \frac{3AB}{2}$.
По условию, больший из этих отрезков равен 12 см. Сравнивая $AH$ и $HD$, видим, что $HD$ больше. $\frac{3AB}{2} = 12 \text{ см} \implies 3AB = 24 \text{ см} \implies AB = 8 \text{ см}$.
Тогда длина большего основания $AD = 2AB = 2 \cdot 8 = 16$ см.
Окружность, описанная около трапеции $ABCD$, является также описанной окружностью для треугольника $\triangle ACD$. Найдем углы этого треугольника:
$\angle CAD = 30^\circ$ (по построению).
$\angle CDA = 60^\circ$ (как угол при основании равнобедренной трапеции).
Сумма углов треугольника равна $180^\circ$, поэтому $\angle ACD = 180^\circ - (30^\circ + 60^\circ) = 90^\circ$.
Поскольку треугольник $\triangle ACD$ является прямоугольным, центр его описанной окружности лежит на середине гипотенузы $AD$, а сама гипотенуза является диаметром этой окружности. Таким образом, диаметр описанной около трапеции окружности равен длине основания $AD$.
$D = AD = 16$ см.

Ответ: 16 см.

б)

Трапеция, вписанная в окружность, является равнобедренной, поэтому $AB = CD$ и $\angle BAD = \angle CDA$. Сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна $180^\circ$, поэтому $\angle BAD + \angle BCD = 180^\circ$.
По условию $\angle BCD = 2\angle BAD$. Подставим это в предыдущее равенство: $\angle BAD + 2\angle BAD = 180^\circ \implies 3\angle BAD = 180^\circ \implies \angle BAD = 60^\circ$.
Следовательно, углы при большем основании равны $60^\circ$, а при меньшем — $\angle BCD = 2 \cdot 60^\circ = 120^\circ$.
По условию меньшее основание $BC$ равно боковой стороне. Так как трапеция равнобедренная, $AB=CD$, то $BC=AB=CD$. Обозначим эту длину как $x$.
Проведем высоту $BH$ к основанию $AD$. В прямоугольном треугольнике $\triangle ABH$ отрезок $AH$ является катетом, прилежащим к углу $\angle BAH = 60^\circ$. $AH = AB \cdot \cos(60^\circ) = x \cdot \frac{1}{2} = \frac{x}{2}$.
В равнобедренной трапеции $AD = BC + 2AH$. Подставив $BC=x$ и $AH = x/2$, получаем: $AD = x + 2(\frac{x}{2}) = x + x = 2x$.
Высота $BH$ делит основание $AD$ на два отрезка: $AH = \frac{x}{2}$ и $HD = AD - AH = 2x - \frac{x}{2} = \frac{3x}{2}$.
Меньший из этих отрезков — $AH$. По условию, его длина равна 5 см. $\frac{x}{2} = 5 \text{ см} \implies x = 10 \text{ см}$.
Таким образом, боковая сторона и меньшее основание равны 10 см, а большее основание $AD = 2x = 2 \cdot 10 = 20$ см.
Диаметр описанной окружности трапеции можно найти как диаметр окружности, описанной около треугольника $\triangle ABD$.
В треугольнике $\triangle ABD$ известны стороны $AB=10$ см, $AD=20$ см и угол между ними $\angle BAD = 60^\circ$. По теореме косинусов найдем длину диагонали $BD$: $BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos(60^\circ) = 10^2 + 20^2 - 2 \cdot 10 \cdot 20 \cdot \frac{1}{2} = 100 + 400 - 200 = 300$. $BD = \sqrt{300} = 10\sqrt{3}$ см.
По следствию из теоремы синусов (обобщенной теореме синусов), диаметр $D$ описанной окружности треугольника $\triangle ABD$ равен: $D = \frac{BD}{\sin(\angle BAD)} = \frac{10\sqrt{3}}{\sin(60^\circ)} = \frac{10\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 10 \cdot 2 = 20$ см.
Альтернативно, можно было заметить, что в $\triangle ABD$ стороны $AB=10$, $AD=20$ и $BD=10\sqrt{3}$ удовлетворяют теореме Пифагора: $AB^2+BD^2 = 100+300=400 = 20^2 = AD^2$. Это означает, что $\angle ABD = 90^\circ$. Следовательно, $\triangle ABD$ — прямоугольный, и его гипотенуза $AD$ является диаметром описанной окружности. $D = AD = 20$ см.

Ответ: 20 см.