Номер 9.1, страница 144 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

9.1. Окружность с центром $O$ радиусом $R$ описана около четырехугольника $ABCD$. По данным рисунков 229, а)—д) найдите неизвестные величины.

а)$\angle ADC$ — ?

б)$BC \parallel AD$; $R$ — ?

в)$R$ — ?

г)$S_{AOB} = 4,5$; $R$ — ?

д)$R = 5$; $P_{ABCD}$ — ?

Рис. 229

а) ∠ADC — ?

Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается. Угол ∠ADC опирается на большую дугу AC. Центральный угол ∠AOC, равный 160°, опирается на меньшую дугу AC. Следовательно, градусная мера меньшей дуги AC равна 160°.

Градусная мера всей окружности равна 360°. Найдем градусную меру большей дуги AC:

Дуга AC (большая) = $360° - 160° = 200°$.

Вписанный угол ∠ADC равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается:

$∠ADC = \frac{1}{2} \cdot 200° = 100°$.

Альтернативное решение: вписанный угол ∠ABC опирается на меньшую дугу AC, поэтому $∠ABC = \frac{1}{2} \cdot 160° = 80°$. Так как четырехугольник ABCD вписан в окружность, сумма его противолежащих углов равна 180°. Тогда $∠ADC = 180° - ∠ABC = 180° - 80° = 100°$.

Ответ: $100°$.

б) BC || AD; R — ?

Так как четырехугольник ABCD вписан в окружность и его основания BC и AD параллельны, то он является равнобедренной трапецией. Из условия $AB=6$ и $CD=6$. Рассмотрим треугольник AOB. Стороны OA и OB являются радиусами окружности, поэтому $OA = OB = R$. Треугольник AOB — равнобедренный.

Расстояние от центра O до хорды AB — это длина перпендикуляра OH, опущенного из точки O на сторону AB. По условию $OH = 4$. В равнобедренном треугольнике AOB высота OH является также медианой, поэтому она делит сторону AB пополам: $AH = HB = \frac{AB}{2} = \frac{6}{2} = 3$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник OHB. По теореме Пифагора:

$OB^2 = OH^2 + HB^2$

$R^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$

$R = \sqrt{25} = 5$

Ответ: 5.

в) R — ?

Из рисунка видно, что $∠DAB = 90°$ и $∠ADC = 90°$. Так как четырехугольник ABCD вписан в окружность, сумма его противолежащих углов равна 180°. Найдем остальные углы:

$∠BCD = 180° - ∠DAB = 180° - 90° = 90°$

$∠ABC = 180° - ∠ADC = 180° - 90° = 90°$

Все углы четырехугольника прямые, следовательно, ABCD — прямоугольник. Диагональ вписанного прямоугольника является диаметром описанной окружности. Найдем диагональ AC из прямоугольного треугольника ADC. По теореме Пифагора:

$AC^2 = AD^2 + CD^2$

$AC^2 = 10^2 + 6^2 = 100 + 36 = 136$

$AC = \sqrt{136} = \sqrt{4 \cdot 34} = 2\sqrt{34}$

Диаметр окружности $d = AC = 2\sqrt{34}$. Радиус $R$ равен половине диаметра:

$R = \frac{d}{2} = \frac{2\sqrt{34}}{2} = \sqrt{34}$

Ответ: $\sqrt{34}$.

г) S_▵AOB = 4,5; R — ?

По отметкам на сторонах видно, что все стороны четырехугольника ABCD равны. Вписанный в окружность ромб является квадратом. Центр O описанной окружности совпадает с центром квадрата (точкой пересечения диагоналей).

Диагонали квадрата равны, перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам. Следовательно, треугольник AOB является прямоугольным и равнобедренным, так как $OA = OB = R$ (радиусы) и $∠AOB = 90°$.

Площадь прямоугольного треугольника AOB равна половине произведения его катетов:

$S_{\triangle AOB} = \frac{1}{2} \cdot OA \cdot OB = \frac{1}{2} \cdot R \cdot R = \frac{1}{2}R^2$

По условию, $S_{\triangle AOB} = 4,5$. Составим уравнение:

$\frac{1}{2}R^2 = 4,5$

$R^2 = 2 \cdot 4,5 = 9$

$R = \sqrt{9} = 3$

Ответ: 3.

д) R = 5; P_ABCD — ?

Периметр четырехугольника $P_{ABCD} = AB + BC + CD + AD$. Из рисунка видно, что $AB = AD$ и $BC = CD$. Значит, $P_{ABCD} = 2(AB + BC)$.

Рассмотрим треугольник BOC. $OB = OC = R = 5$, так как это радиусы. По условию, центральный угол $∠BOC = 60°$. Треугольник, у которого две стороны равны, а угол между ними 60°, является равносторонним. Следовательно, $BC = OB = OC = 5$. Так как $CD=BC$, то $CD=5$.

Равные хорды стягивают равные дуги. Так как $BC=CD$, то дуга BC = дуга CD. Градусная мера дуги равна центральному углу, поэтому дуга BC = $∠BOC = 60°$. Значит, дуга CD = 60°.

Так как $AB=AD$, то дуга AB = дуга AD. Сумма всех дуг окружности равна 360°:

дуга AB + дуга BC + дуга CD + дуга AD = 360°

2 ⋅ дуга AB + 60° + 60° = 360°

2 ⋅ дуга AB = 240°

дуга AB = 120°

Центральный угол $∠AOB$ равен дуге AB, то есть $∠AOB = 120°$.

Теперь найдем длину стороны AB из треугольника AOB по теореме косинусов. В этом треугольнике $OA = OB = R = 5$ и $∠AOB = 120°$.

$AB^2 = OA^2 + OB^2 - 2 \cdot OA \cdot OB \cdot \cos(∠AOB)$

$AB^2 = 5^2 + 5^2 - 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot \cos(120°)$

Так как $\cos(120°) = -0,5$:

$AB^2 = 25 + 25 - 50 \cdot (-0,5) = 50 + 25 = 75$

$AB = \sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3}$

Теперь вычислим периметр:

$P_{ABCD} = 2(AB + BC) = 2(5\sqrt{3} + 5) = 10\sqrt{3} + 10$

Ответ: $10 + 10\sqrt{3}$.