Номер 9.7, страница 147 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

9.7. a) В выпуклом четырехугольнике $ABCD$ $\angle B = \angle D = 90^\circ$.

Диаметр окружности, описанной около треугольника $ABD$, равен 24. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $BCD$.

б) В выпуклом четырехугольнике $ABCD$ $\angle A : \angle B : \angle C : \angle D = 2:7:9:4$.

Радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$, равен $12,5$. Найдите диаметр окружности, описанной около треугольника $BCD$.

а)

Рассмотрим выпуклый четырехугольник $ABCD$. По условию, углы $\angle B = 90^\circ$ и $\angle D = 90^\circ$.

Найдем сумму противоположных углов четырехугольника: $\angle B + \angle D = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$.

Свойство вписанного четырехугольника гласит, что четырехугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда сумма его противоположных углов равна $180^\circ$. Следовательно, четырехугольник $ABCD$ является вписанным в окружность. Это означает, что все четыре его вершины (A, B, C и D) лежат на одной и той же окружности.

Окружность, описанная около треугольника $ABD$, — это окружность, проходящая через вершины A, B и D. Окружность, описанная около треугольника $BCD$, — это окружность, проходящая через вершины B, C и D.

Поскольку все четыре вершины $A, B, C, D$ лежат на одной окружности, то окружности, описанные около треугольников $ABD$ и $BCD$, совпадают. Это одна и та же окружность, которая описана около четырехугольника $ABCD$.

Следовательно, радиусы и диаметры этих окружностей равны.

По условию, диаметр окружности, описанной около треугольника $ABD$, равен 24. Значит, диаметр окружности, описанной около треугольника $BCD$, также равен 24.

Радиус окружности равен половине ее диаметра. Найдем радиус окружности, описанной около треугольника $BCD$:

$R_{BCD} = \frac{D_{BCD}}{2} = \frac{24}{2} = 12$.

Ответ: 12.

б)

Пусть углы выпуклого четырехугольника $ABCD$ соотносятся как $\angle A : \angle B : \angle C : \angle D = 2:7:9:4$. Сумма углов любого четырехугольника равна $360^\circ$.

Введем коэффициент пропорциональности $x$. Тогда углы равны $\angle A = 2x$, $\angle B = 7x$, $\angle C = 9x$, $\angle D = 4x$.

Составим уравнение:

$2x + 7x + 9x + 4x = 360^\circ$

$22x = 360^\circ$

$x = \frac{360^\circ}{22} = \frac{180^\circ}{11}$

Найдем величины углов $A$ и $C$:

$\angle A = 2x = 2 \cdot \frac{180^\circ}{11} = \frac{360^\circ}{11}$

$\angle C = 9x = 9 \cdot \frac{180^\circ}{11} = \frac{1620^\circ}{11}$

Проверим сумму противоположных углов $\angle A$ и $\angle C$:

$\angle A + \angle C = \frac{360^\circ}{11} + \frac{1620^\circ}{11} = \frac{1980^\circ}{11} = 180^\circ$.

Так как сумма противоположных углов четырехугольника $ABCD$ равна $180^\circ$, он является вписанным в окружность. Это означает, что все его вершины $A, B, C, D$ лежат на одной окружности.

Окружность, описанная около треугольника $ABC$, и окружность, описанная около треугольника $BCD$, являются одной и той же окружностью, так как они обе проходят через точки, лежащие на этой общей окружности.

Следовательно, радиусы и диаметры этих окружностей равны.

По условию, радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$, равен $R_{ABC} = 12,5$.

Значит, радиус окружности, описанной около треугольника $BCD$, также равен $R_{BCD} = 12,5$.

Требуется найти диаметр окружности, описанной около треугольника $BCD$. Диаметр равен удвоенному радиусу:

$D_{BCD} = 2 \cdot R_{BCD} = 2 \cdot 12,5 = 25$.

Ответ: 25.