Номер 9.8, страница 147 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

9.8. a) Вокруг трапеции $ABCD$ ($BC \parallel AD$, $BC < AD$), диагонали которой взаимно перпендикулярны, описана окружность с центром в точке $O$. Угол $AOD$ равен $110^\circ$. Найдите угол $AOC$.

б) Окружность с центром $O$ описана около трапеции $ABCD$ ($BC \parallel AD$, $BC < AD$), диагонали которой взаимно перпендикулярны. Угол $AOC$ равен $130^\circ$. Найдите угол $AOD$.

а)

Поскольку трапеция $ABCD$ вписана в окружность, она является равнобокой. Это означает, что её боковые стороны равны ($AB = CD$), а также равны диагонали ($AC = BD$) и углы при основаниях.

Равенство хорд $AB$ и $CD$ означает равенство дуг, которые они стягивают, а следовательно, и равенство центральных углов, опирающихся на эти дуги: $ \angle AOB = \angle COD $.

Пусть диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $P$. По условию, диагонали взаимно перпендикулярны, то есть $AC \perp BD$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $APD$ (угол $APD$ прямой). Сумма острых углов в нём равна $90^\circ$: $ \angle PAD + \angle PDA = 90^\circ $.

Угол $\angle PAD$ (то же, что и $\angle CAD$) является вписанным и опирается на дугу $CD$. Его величина равна половине центрального угла $\angle COD$: $ \angle PAD = \frac{1}{2} \angle COD $.

Аналогично, вписанный угол $\angle PDA$ (то же, что и $\angle BDA$) опирается на дугу $AB$ и равен половине центрального угла $\angle AOB$: $ \angle PDA = \frac{1}{2} \angle AOB $.

Подставим эти выражения в равенство для углов треугольника $APD$: $ \frac{1}{2} \angle COD + \frac{1}{2} \angle AOB = 90^\circ $, что эквивалентно $ \angle COD + \angle AOB = 180^\circ $.

Так как мы ранее установили, что $\angle AOB = \angle COD$, получаем: $ 2 \angle AOB = 180^\circ $, откуда $ \angle AOB = 90^\circ $. Следовательно, $ \angle COD = 90^\circ $.

Сумма всех центральных углов, образованных радиусами, проведенными к вершинам трапеции, равна $360^\circ$: $ \angle AOB + \angle BOC + \angle COD + \angle AOD = 360^\circ $.

Подставим известные значения: нам дано $ \angle AOD = 110^\circ $, и мы нашли $ \angle AOB = \angle COD = 90^\circ $. $ 90^\circ + \angle BOC + 90^\circ + 110^\circ = 360^\circ $. $ \angle BOC + 290^\circ = 360^\circ $. $ \angle BOC = 360^\circ - 290^\circ = 70^\circ $.

Угол $ \angle AOC $ состоит из двух смежных центральных углов $ \angle AOB $ и $ \angle BOC $: $ \angle AOC = \angle AOB + \angle BOC $. $ \angle AOC = 90^\circ + 70^\circ = 160^\circ $.

Ответ: $160^\circ$.

б)

Как и в пункте а), для трапеции, вписанной в окружность, с перпендикулярными диагоналями, мы можем использовать выведенные свойства:
1. Центральные углы, опирающиеся на боковые стороны, равны $90^\circ$: $ \angle AOB = \angle COD = 90^\circ $.
2. Сумма центральных углов, опирающихся на основания, равна $180^\circ$: $ \angle BOC + \angle AOD = 180^\circ $. (Это следует из того, что $ \angle AOB + \angle BOC + \angle COD + \angle AOD = 360^\circ $, и $ \angle AOB + \angle COD = 180^\circ $).

По условию дан угол $ \angle AOC = 130^\circ $. Этот угол складывается из углов $ \angle AOB $ и $ \angle BOC $: $ \angle AOC = \angle AOB + \angle BOC $.

Подставим известные значения: $ 130^\circ = 90^\circ + \angle BOC $.

Отсюда находим $ \angle BOC $: $ \angle BOC = 130^\circ - 90^\circ = 40^\circ $.

Теперь, используя свойство $ \angle BOC + \angle AOD = 180^\circ $, найдем $ \angle AOD $: $ 40^\circ + \angle AOD = 180^\circ $. $ \angle AOD = 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ $.

Ответ: $140^\circ$.