Номер 9.13, страница 148 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

9.13. a) Докажите, что в любом вписанном четырехугольнике угол, образованный диагональю с одной из сторон, равен углу, образованному другой диагональю с противоположной стороной четырехугольника.

б) Докажите, что если в выпуклом четырехугольнике хотя бы одна диагональ делит два его угла пополам, то в такой четырехугольник можно вписать окружность.

Рассмотрим вписанный в окружность четырехугольник $ABCD$. Проведем его диагонали $AC$ и $BD$.

Требуется доказать, что угол, образованный одной диагональю с одной из сторон, равен углу, образованному другой диагональю с противоположной стороной. В качестве примера докажем, что угол, образованный диагональю $AC$ и стороной $CD$ (т.е. $\angle ACD$), равен углу, образованному другой диагональю $BD$ и противоположной стороной $AB$ (т.е. $\angle ABD$).

Воспользуемся свойством вписанных углов: вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу окружности, равны между собой.

Угол $\angle ACD$ является вписанным углом. Он опирается на дугу $AD$.

Угол $\angle ABD$ также является вписанным углом. Он опирается на ту же самую дугу $AD$.

Следовательно, на основании свойства вписанных углов, мы можем заключить, что $\angle ACD = \angle ABD$.

Доказательство справедливо для любой другой такой пары углов. Например, угол между диагональю $BD$ и стороной $BC$ ($\angle CBD$) равен углу между диагональю $AC$ и противоположной стороной $AD$ ($\angle CAD$), поскольку оба эти угла опираются на дугу $CD$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

Согласно свойству описанного четырехугольника (теорема Пито), в выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин его противолежащих сторон равны.

Пусть в выпуклом четырехугольнике $ABCD$ хотя бы одна диагональ, например $AC$, делит два его угла пополам. Это означает, что диагональ $AC$ является биссектрисой углов $\angle A$ и $\angle C$.

Из этого условия следует, что $\angle BAC = \angle DAC$ и $\angle BCA = \angle DCA$.

Рассмотрим треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$, на которые диагональ $AC$ разбивает четырехугольник. В этих треугольниках:

• сторона $AC$ — общая;
• угол $\angle BAC$ равен углу $\angle DAC$ (по условию);
• угол $\angle BCA$ равен углу $\angle DCA$ (по условию).

Следовательно, по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам), $\triangle ABC \cong \triangle ADC$.

Из равенства (конгруэнтности) треугольников следует равенство их соответствующих сторон: $AB = AD$ и $BC = DC$.

Теперь проверим, выполняется ли для четырехугольника $ABCD$ условие возможности вписать в него окружность: $AB + DC = AD + BC$.

Так как мы установили, что $AB = AD$ и $DC = BC$, то, подставив эти равенства в проверяемое выражение, мы получим тождество: $AB + DC = AB + DC$.

Поскольку суммы длин противоположных сторон четырехугольника равны, в него можно вписать окружность.

Ответ: Что и требовалось доказать.