Номер 9.14, страница 148 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

9.14. а) $ABCD$ — описанный четырехугольник, $AB$ меньше $CD$ на 4 см, $AD$ меньше $CD$ в три раза, а $AD : BC = 1 : 4$. Найдите периметр $ABCD$.

б) $ABCD$ — описанный четырехугольник, $BC$ больше $AD$ на 5 см, $AB : CD = 1 : 4$. Найдите сумму $AB$ и $AD$, если периметр четырехугольника $ABCD$ равен 50 см.

а)

Поскольку четырехугольник $ABCD$ является описанным, суммы длин его противолежащих сторон равны (согласно свойству описанного четырехугольника или теореме Пито):
$AB + CD = AD + BC$

Введем переменную для решения задачи. Пусть длина стороны $CD$ равна $x$ см. Исходя из условий, выразим длины других сторон через $x$:

• Сторона $AB$ меньше $CD$ на 4 см, следовательно, $AB = x - 4$.
• Сторона $AD$ меньше $CD$ в три раза, следовательно, $AD = \frac{x}{3}$.
• Отношение сторон $AD : BC = 1 : 4$, следовательно, $BC = 4 \cdot AD$. Подставив выражение для $AD$, получаем $BC = 4 \cdot \frac{x}{3} = \frac{4x}{3}$.

Теперь подставим полученные выражения в равенство сумм противоположных сторон:
$(x - 4) + x = \frac{x}{3} + \frac{4x}{3}$

Решим это уравнение относительно $x$:
$2x - 4 = \frac{5x}{3}$
Для того чтобы избавиться от дроби, умножим обе части уравнения на 3:
$3 \cdot (2x - 4) = 5x$
$6x - 12 = 5x$
$6x - 5x = 12$
$x = 12$

Таким образом, мы нашли длину стороны $CD = 12$ см. Теперь можем найти длины остальных сторон:
$AB = 12 - 4 = 8$ см
$AD = \frac{12}{3} = 4$ см
$BC = \frac{4 \cdot 12}{3} = 16$ см

Периметр четырехугольника $ABCD$ — это сумма длин всех его сторон:
$P_{ABCD} = AB + BC + CD + AD$
$P_{ABCD} = 8 + 16 + 12 + 4 = 40$ см.
Также периметр можно было вычислить как удвоенную сумму противоположных сторон: $P_{ABCD} = 2 \cdot (AB + CD) = 2 \cdot (8 + 12) = 40$ см.

Ответ: 40 см.

б)

Так как четырехугольник $ABCD$ описанный, суммы его противолежащих сторон равны:
$AB + CD = AD + BC$

Периметр четырехугольника $P_{ABCD}$ равен сумме всех его сторон: $P_{ABCD} = AB + BC + CD + AD$.
Используя свойство описанного четырехугольника, можно записать: $P_{ABCD} = (AB + CD) + (AD + BC) = 2 \cdot (AB + CD)$.
По условию $P_{ABCD} = 50$ см. Отсюда следует, что сумма длин каждой пары противолежащих сторон равна половине периметра:
$AB + CD = \frac{50}{2} = 25$ см
$AD + BC = \frac{50}{2} = 25$ см

Теперь, используя данные из условия, найдем длины сторон $AB$ и $AD$.
Известно, что $BC$ больше $AD$ на 5 см, то есть $BC = AD + 5$. Подставим это в равенство $AD + BC = 25$:
$AD + (AD + 5) = 25$
$2 \cdot AD + 5 = 25$
$2 \cdot AD = 20$
$AD = 10$ см.

Также известно, что $AB : CD = 1 : 4$, откуда $CD = 4 \cdot AB$. Подставим это в равенство $AB + CD = 25$:
$AB + 4 \cdot AB = 25$
$5 \cdot AB = 25$
$AB = 5$ см.

Требуется найти сумму $AB$ и $AD$:
$AB + AD = 5 + 10 = 15$ см.

Ответ: 15 см.