Номер 10.1, страница 150 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

10.1. По данным рисунков 231, а)—м) найдите неизвестные величины.

а) $\sin \angle C - ?$

б) $x - ?$

в) $AC - ?$

г) $OA - ?$

д) $\sin \angle A - ?$

е) $R = \frac{8\sqrt{15}}{15}$; $S_{\triangle ABC} - ?$

ж) $S_{\triangle ABC} = 6\sqrt{6}$; $R_{\triangle ABC} - ?$

з) $R_{\triangle ABC} - ?$

и) $\sin \angle ABC = \frac{4}{5}$; $AC - ?$

к) $\stackrel{\frown}{AB} : \stackrel{\frown}{AC} : \stackrel{\frown}{CB} = 4 : 3 : 5$; $\frac{AC}{AB} - ?$

л) $\cos \angle A = 0,6$; $R_{\triangle ABC} - ?$

м) $\cos \angle B = -0,5$; $R_{\triangle ABC} - ?$

Рис. 231

а) sin ∠C — ?

Применяем обобщенную теорему синусов для треугольника ABC, вписанного в окружность. Согласно этой теореме, отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно удвоенному радиусу описанной окружности: $ \frac{AB}{\sin\angle C} = 2R $.
По данным рисунка, сторона $ AB = 12 $, а радиус описанной окружности $ R = 8 $.
Подставим известные значения в формулу:
$ \frac{12}{\sin\angle C} = 2 \cdot 8 $
$ \frac{12}{\sin\angle C} = 16 $
Отсюда выражаем $ \sin\angle C $:
$ \sin\angle C = \frac{12}{16} = \frac{3}{4} $.
Ответ: $ \frac{3}{4} $.

б) x — ?

Для нахождения неизвестной стороны $ x $ в треугольнике воспользуемся теоремой синусов: $ \frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} $.
В данном треугольнике стороне $ x $ противолежит угол $ 45^\circ $, а стороне длиной 12 противолежит угол $ 120^\circ $. Составим пропорцию:
$ \frac{x}{\sin 45^\circ} = \frac{12}{\sin 120^\circ} $
Значения синусов: $ \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} $ и $ \sin 120^\circ = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} $.
Подставим эти значения:
$ \frac{x}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{12}{\frac{\sqrt{3}}{2}} $
Выразим $ x $:
$ x = \frac{12 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{12\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{2}\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{6} $.
Ответ: $ 4\sqrt{6} $.

в) AC — ?

Треугольник ABC вписан в окружность с центром O. Отрезок OC является радиусом, следовательно, $ R = 4 $. Угол $ \angle B = 150^\circ $ является вписанным и противолежит стороне AC. По обобщенной теореме синусов:
$ \frac{AC}{\sin\angle B} = 2R $
Подставим известные значения: $ R=4 $ и $ \angle B = 150^\circ $.
$ \frac{AC}{\sin 150^\circ} = 2 \cdot 4 $
$ \sin 150^\circ = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin 30^\circ = \frac{1}{2} $.
$ \frac{AC}{1/2} = 8 $
$ AC = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4 $.
Ответ: 4.

г) OA — ?

Треугольник ABC вписан в окружность с центром O. Отрезок OA является радиусом этой окружности, $ OA = R $. Нам нужно найти радиус описанной окружности. Воспользуемся обобщенной теоремой синусов. Стороне $ AC = 12\sqrt{2} $ противолежит угол $ \angle B = 135^\circ $.
$ \frac{AC}{\sin\angle B} = 2R $
$ \frac{12\sqrt{2}}{\sin 135^\circ} = 2R $
$ \sin 135^\circ = \sin(180^\circ - 45^\circ) = \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} $.
$ \frac{12\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 2R $
$ 12\sqrt{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = 2R $
$ 24 = 2R $
$ R = 12 $.
Поскольку $ OA = R $, то $ OA = 12 $.
Ответ: 12.

д) sin ∠A — ?

В треугольнике ABC известны две стороны $ AC = 9\sqrt{2} $, $ BC = 16 $ и угол $ \angle B = 45^\circ $, противолежащий стороне AC. Требуется найти синус угла A, который противолежит стороне BC. Применим теорему синусов:
$ \frac{BC}{\sin\angle A} = \frac{AC}{\sin\angle B} $
Подставим известные значения:
$ \frac{16}{\sin\angle A} = \frac{9\sqrt{2}}{\sin 45^\circ} $
$ \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} $.
$ \frac{16}{\sin\angle A} = \frac{9\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 9\sqrt{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = 18 $
$ \sin\angle A = \frac{16}{18} = \frac{8}{9} $.
Ответ: $ \frac{8}{9} $.

е) R = 8√15/15; S_△ABC — ?

Для нахождения площади треугольника ABC известны длины всех его сторон: $ a = BC = 4 $, $ b = AC = 3 $, $ c = AB = 2 $. Воспользуемся формулой Герона. Сначала найдем полупериметр $ s $:
$ s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{4+3+2}{2} = \frac{9}{2} $
Теперь вычислим площадь $ S $:
$ S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{\frac{9}{2}(\frac{9}{2}-4)(\frac{9}{2}-3)(\frac{9}{2}-2)} $
$ S = \sqrt{\frac{9}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{5}{2}} = \sqrt{\frac{9 \cdot 1 \cdot 3 \cdot 5}{16}} = \frac{\sqrt{135}}{4} = \frac{\sqrt{9 \cdot 15}}{4} = \frac{3\sqrt{15}}{4} $.
(Заметим, что можно было использовать формулу $ S = \frac{abc}{4R} $, что дало бы тот же результат).
Ответ: $ \frac{3\sqrt{15}}{4} $.

ж) S_△ABC = 6√6; R_△ABC — ?

Для нахождения радиуса описанной окружности $ R $ воспользуемся формулой, связывающей его с площадью треугольника и длинами сторон: $ R = \frac{abc}{4S} $.
Из рисунка имеем: $ a = BC = 5 $, $ b = AC = 10 $, $ c = AB = 7 $. Площадь дана в условии: $ S = 6\sqrt{6} $.
Подставим значения в формулу:
$ R = \frac{7 \cdot 5 \cdot 10}{4 \cdot 6\sqrt{6}} = \frac{350}{24\sqrt{6}} = \frac{175}{12\sqrt{6}} $
Избавимся от иррациональности в знаменателе:
$ R = \frac{175\sqrt{6}}{12\sqrt{6}\sqrt{6}} = \frac{175\sqrt{6}}{12 \cdot 6} = \frac{175\sqrt{6}}{72} $.
Ответ: $ \frac{175\sqrt{6}}{72} $.

з) R_△ABC — ?

Чтобы найти радиус описанной окружности $ R $, нам нужно знать стороны треугольника и его площадь, либо одну из сторон и синус противолежащего угла. Пусть BH — высота, опущенная из вершины B на сторону AC. $ BH=2 $, $ AC=5 $, $ AB=\sqrt{5} $.
1. В прямоугольном треугольнике ABH найдем AH по теореме Пифагора: $ AH = \sqrt{AB^2 - BH^2} = \sqrt{(\sqrt{5})^2 - 2^2} = \sqrt{5-4} = 1 $.
2. Найдем HC: $ HC = AC - AH = 5 - 1 = 4 $.
3. В прямоугольном треугольнике CBH найдем BC по теореме Пифагора: $ BC = \sqrt{BH^2 + HC^2} = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{4+16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} $.
4. Теперь у нас есть все стороны ($ a=2\sqrt{5}, b=5, c=\sqrt{5} $). Найдем синус угла C из треугольника CBH: $ \sin\angle C = \frac{BH}{BC} = \frac{2}{2\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} $.
5. По обобщенной теореме синусов: $ \frac{AB}{\sin\angle C} = 2R $.
$ \frac{\sqrt{5}}{1/\sqrt{5}} = 2R $
$ \sqrt{5} \cdot \sqrt{5} = 2R $
$ 5 = 2R $
$ R = \frac{5}{2} = 2.5 $.
Ответ: 2.5.

и) sin ∠ABC = 4/5; AC — ?

Из рисунка видно, что высота, опущенная из вершины B, проходит через центр описанной окружности O. Это означает, что треугольник ABC равнобедренный с основанием AC, т.е. $ AB = BC $. В условии дано $ AB=8 $, значит $ BC=8 $. Также дан синус угла при вершине $ \sin\angle ABC = 4/5 $. Для нахождения стороны AC воспользуемся теоремой косинусов: $ AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos\angle ABC $.
Сначала найдем косинус угла ABC. Так как это угол при вершине равнобедренного треугольника, он может быть тупым или острым. Однако если он тупой, то углы при основании будут $(180 - \angle B)/2 < (180-90)/2 = 45^\circ$, что возможно. Если он острый, то тем более. Из основного тригонометрического тождества $ \cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha $:
$ \cos^2\angle ABC = 1 - (\frac{4}{5})^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25} $.
$ \cos\angle ABC = \pm \frac{3}{5} $. Вписанный угол, опирающийся на хорду, на которой лежит центр, должен быть прямым. Здесь центр лежит на высоте, а не на стороне. Угол может быть тупым. Однако в школьных задачах, если не указано иное, угол считается острым. Примем $ \cos\angle ABC = 3/5 $. $ AC^2 = 8^2 + 8^2 - 2 \cdot 8 \cdot 8 \cdot \frac{3}{5} = 64 + 64 - \frac{384}{5} = 128 - 76.8 = 51.2 = \frac{256}{5} $.
$ AC = \sqrt{\frac{256}{5}} = \frac{16}{\sqrt{5}} = \frac{16\sqrt{5}}{5} $.
Ответ: $ \frac{16\sqrt{5}}{5} $.

к) ◡AB : ◡AC : ◡CB = 4 : 3 : 5; AC/AB — ?

Отношение длин сторон вписанного треугольника можно найти через синусы противолежащих углов. Величины вписанных углов равны половине величин дуг, на которые они опираются. 1. Найдем градусные меры дуг. Сумма дуг составляет $ 360^\circ $. Пусть одна часть равна $ k $.
$ 4k + 3k + 5k = 360^\circ \implies 12k = 360^\circ \implies k = 30^\circ $.
Дуга AB = $ 4 \cdot 30^\circ = 120^\circ $.
Дуга AC = $ 3 \cdot 30^\circ = 90^\circ $.
Дуга CB = $ 5 \cdot 30^\circ = 150^\circ $.
2. Найдем величины углов треугольника:
$ \angle C $ опирается на дугу AB, $ \angle C = 120^\circ / 2 = 60^\circ $.
$ \angle B $ опирается на дугу AC, $ \angle B = 90^\circ / 2 = 45^\circ $.
$ \angle A $ опирается на дугу CB, $ \angle A = 150^\circ / 2 = 75^\circ $.
3. По теореме синусов: $ \frac{AC}{\sin\angle B} = \frac{AB}{\sin\angle C} $.
Отсюда $ \frac{AC}{AB} = \frac{\sin\angle B}{\sin\angle C} = \frac{\sin 45^\circ}{\sin 60^\circ} $.
$ \frac{AC}{AB} = \frac{\sqrt{2}/2}{\sqrt{3}/2} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3} $.
Ответ: $ \frac{\sqrt{6}}{3} $.

л) cos ∠A = 0,6; R_△ABC — ?

На рисунке показан треугольник ABC, в котором стороны AB и BC отмечены как равные, значит, треугольник равнобедренный, $ AB = BC = 5 $. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, т.е. $ \angle A = \angle C $.
Дан $ \cos\angle A = 0.6 = \frac{3}{5} $. Для применения обобщенной теоремы синусов нам нужен синус угла.
$ \sin^2\angle A = 1 - \cos^2\angle A = 1 - (0.6)^2 = 1 - 0.36 = 0.64 $.
Так как угол A в треугольнике, его синус положителен: $ \sin\angle A = \sqrt{0.64} = 0.8 = \frac{4}{5} $.
По обобщенной теореме синусов: $ \frac{BC}{\sin\angle A} = 2R $.
Подставим известные значения: $ BC = 5 $ и $ \sin\angle A = 4/5 $.
$ \frac{5}{4/5} = 2R $
$ 5 \cdot \frac{5}{4} = 2R $
$ \frac{25}{4} = 2R $
$ R = \frac{25}{8} = 3.125 $.
Ответ: 3.125.

м) cos ∠B = -0,5; R_△ABC — ?

На рисунке углы A и C отмечены как равные, следовательно, треугольник ABC равнобедренный с основанием AC, то есть $ AB = BC $. Дано, что $ BC=4 $, значит и $ AB=4 $.
Дан $ \cos\angle B = -0.5 $. Это означает, что угол B тупой и равен $ 120^\circ $.
Так как сумма углов треугольника равна $ 180^\circ $ и $ \angle A = \angle C $:
$ \angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ \implies 2\angle A + 120^\circ = 180^\circ \implies 2\angle A = 60^\circ \implies \angle A = 30^\circ $.
Теперь мы можем найти радиус описанной окружности $ R $ по теореме синусов, используя сторону BC и противолежащий ей угол A.
$ \frac{BC}{\sin\angle A} = 2R $
$ \frac{4}{\sin 30^\circ} = 2R $
Так как $ \sin 30^\circ = 0.5 = \frac{1}{2} $:
$ \frac{4}{1/2} = 2R $
$ 8 = 2R $
$ R = 4 $.
Ответ: 4.