Номер 10.3, страница 151 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

10.3. a) Найдите радиус описанной около треугольника окружности, если одна из его сторон равна $16\sqrt{3}$ см, а противолежащий ей угол — $120^{\circ}$.

б) Радиус описанной около треугольника окружности равен $8\sqrt{2}$ см. Один из углов треугольника равен $135^{\circ}$. Найдите противолежащую этому углу сторону треугольника.

а) Для решения этой задачи используется расширенная теорема синусов, которая устанавливает связь между стороной треугольника, синусом противолежащего угла и радиусом описанной окружности ($R$). Формула выглядит следующим образом:
$ \frac{a}{\sin \alpha} = 2R $
где $a$ — это сторона треугольника, а $\alpha$ — противолежащий ей угол.

По условию задачи нам даны:
- сторона треугольника $a = 16\sqrt{3}$ см;
- противолежащий ей угол $\alpha = 120^\circ$.

Чтобы найти радиус $R$, выразим его из формулы:
$ R = \frac{a}{2 \sin \alpha} $

Найдём значение синуса угла $120^\circ$:
$ \sin 120^\circ = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} $

Теперь подставим все известные значения в формулу для радиуса:
$ R = \frac{16\sqrt{3}}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{16\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 16 $ см.

Ответ: 16 см.

б) Эта задача также решается с помощью расширенной теоремы синусов:
$ \frac{a}{\sin \alpha} = 2R $

По условию нам известны:
- радиус описанной окружности $R = 8\sqrt{2}$ см;
- один из углов треугольника $\alpha = 135^\circ$.

Нам необходимо найти длину стороны $a$, противолежащей этому углу. Выразим сторону $a$ из формулы:
$ a = 2R \sin \alpha $

Найдём значение синуса угла $135^\circ$:
$ \sin 135^\circ = \sin(180^\circ - 45^\circ) = \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} $

Подставим известные значения в формулу для нахождения стороны $a$:
$ a = 2 \cdot 8\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 16\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 16 \cdot \frac{(\sqrt{2})^2}{2} = 16 \cdot \frac{2}{2} = 16 $ см.

Ответ: 16 см.