Номер 10.4, страница 152 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

10.4. a) В треугольнике $РКС$ $\angle Р = 5^\circ$, $\angle К = 25^\circ$, $РК = 23,4$ см. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $РКС$.

б) В треугольнике $ТОН$ $\angle Т = 4^\circ25'$, $\angle О = 25^\circ35'$. Найдите сторону $ТО$, если диаметр окружности, описанной около треугольника $ТОН$, равен $44,2$ см.

а)

Для нахождения радиуса описанной окружности ($R$) воспользуемся расширенной теоремой синусов, которая гласит, что отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно диаметру ($2R$) описанной окружности: $ \frac{a}{\sin \alpha} = 2R $

В нашем треугольнике $PKC$ известна сторона $PK = 23,4$ см. Чтобы применить формулу, необходимо найти угол $\angle C$, который лежит напротив этой стороны.

Сумма углов в любом треугольнике составляет $180^\circ$. Следовательно, мы можем вычислить угол $\angle C$:
$ \angle C = 180^\circ - (\angle P + \angle K) = 180^\circ - (5^\circ + 25^\circ) = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ $.

Теперь мы можем подставить известные значения в формулу теоремы синусов:
$ 2R = \frac{PK}{\sin \angle C} = \frac{23,4}{\sin 150^\circ} $.

Значение синуса $150^\circ$ находится с помощью формулы приведения: $ \sin 150^\circ = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin 30^\circ = 0,5 $.

Подставляем значение синуса и вычисляем диаметр:
$ 2R = \frac{23,4}{0,5} = 46,8 $ см.

Чтобы найти радиус $R$, нужно разделить диаметр на 2:
$ R = \frac{46,8}{2} = 23,4 $ см.

Ответ: $23,4$ см.

б)

Для нахождения стороны $TO$ треугольника $TOH$ мы снова используем теорему синусов. Формула связывает сторону, противолежащий ей угол и диаметр ($d$) описанной окружности: $ \frac{TO}{\sin \angle H} = d $

Нам известен диаметр $d = 44,2$ см. Чтобы найти сторону $TO$, нам нужно сначала вычислить угол $\angle H$, который лежит напротив этой стороны.

Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. Найдем сначала сумму известных углов $\angle T$ и $\angle O$ (помним, что $1^\circ = 60'$):
$ \angle T + \angle O = 4^\circ25' + 25^\circ35' = (4+25)^\circ + (25+35)' = 29^\circ + 60' = 29^\circ + 1^\circ = 30^\circ $.

Теперь вычислим угол $\angle H$:
$ \angle H = 180^\circ - (\angle T + \angle O) = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ $.

Теперь мы можем выразить сторону $TO$ из формулы теоремы синусов:
$ TO = d \cdot \sin \angle H $.

Подставим известные значения и значение $ \sin 150^\circ = 0,5 $:
$ TO = 44,2 \cdot \sin 150^\circ = 44,2 \cdot 0,5 = 22,1 $ см.

Ответ: $22,1$ см.