Номер 9.19, страница 149 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

9.19. В прямоугольную трапецию с углом $30^\circ$ вписана окружность. Докажите, что площадь четырехугольника, вершинами которого являются точки касания окружности со сторонами трапеции, в 4 раза меньше площади трапеции.

Пусть дана прямоугольная трапеция $ABCD$, в которую вписана окружность. Пусть $AD$ — боковая сторона, перпендикулярная основаниям $AB$ и $CD$. Острый угол трапеции — это $\angle C = 30^\circ$.

Обозначим радиус вписанной окружности как $r$.

Высота прямоугольной трапеции равна диаметру вписанной окружности. Следовательно, $h = AD = 2r$.

Проведем высоту $BH$ из вершины $B$ на основание $CD$. Так как $ABCD$ — прямоугольная трапеция, $ABHD$ — прямоугольник, поэтому $BH = AD = 2r$ и $DH = AB$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $BHC$. В нем катет $BH = 2r$ и $\angle C = 30^\circ$. Найдем гипотенузу $BC$ и катет $HC$:
$BC = \frac{BH}{\sin(30^\circ)} = \frac{2r}{1/2} = 4r$.
$HC = \frac{BH}{\tan(30^\circ)} = \frac{2r}{1/\sqrt{3}} = 2r\sqrt{3}$.

Поскольку в трапецию вписана окружность, суммы длин ее противоположных сторон равны:
$AB + CD = AD + BC$
$AB + CD = 2r + 4r = 6r$.

Также мы знаем, что $CD = DH + HC = AB + 2r\sqrt{3}$. Подставим это выражение в предыдущее равенство:
$AB + (AB + 2r\sqrt{3}) = 6r$
$2AB = 6r - 2r\sqrt{3}$
$AB = r(3 - \sqrt{3})$.

Теперь найдем длину основания $CD$:
$CD = 6r - AB = 6r - r(3 - \sqrt{3}) = r(3 + \sqrt{3})$.

Площадь трапеции вычисляется по формуле:
$S_{ABCD} = \frac{AB + CD}{2} \cdot AD$
$S_{ABCD} = \frac{6r}{2} \cdot 2r = 3r \cdot 2r = 6r^2$.

Пусть точки касания окружности со сторонами $AB, BC, CD, DA$ будут $K, L, M, N$ соответственно. Четырехугольник, площадь которого нам нужно найти, — это $KLMN$.

Введем систему координат. Поместим вершину $D$ в начало координат $(0,0)$. Так как $AD \perp CD$, направим ось $Ox$ вдоль $CD$, а ось $Oy$ вдоль $DA$. Тогда вершины трапеции имеют координаты:
$D = (0,0)$
$A = (0, AD) = (0, 2r)$
$C = (CD, 0) = (r(3+\sqrt{3}), 0)$
$B = (AB, 2r) = (r(3-\sqrt{3}), 2r)$

Центр вписанной окружности $O$ равноудален от сторон $AD$ (ось $Oy$), $CD$ (ось $Ox$) и $AB$ (прямая $y=2r$), поэтому его координаты $O(r,r)$.

Найдем координаты точек касания:

• Точка $N$ на стороне $DA$ (прямая $x=0$): радиус $ON$ перпендикулярен $DA$, значит, он горизонтален. Координаты $N(0,r)$.
• Точка $M$ на стороне $CD$ (прямая $y=0$): радиус $OM$ перпендикулярен $CD$, значит, он вертикален. Координаты $M(r,0)$.
• Точка $K$ на стороне $AB$ (прямая $y=2r$): радиус $OK$ перпендикулярен $AB$, значит, он вертикален. Координаты $K(r,2r)$.

Чтобы найти площадь четырехугольника $KLMN$, разобьем его диагональю $KM$ на два треугольника: $\triangle KNM$ и $\triangle KML$. Диагональ $KM$ соединяет точки $K(r,2r)$ и $M(r,0)$, она является вертикальным отрезком длиной $2r$ и лежит на прямой $x=r$.

Площадь $\triangle KNM$: основание $KM=2r$. Высота — это расстояние от точки $N(0,r)$ до прямой $x=r$, которое равно $r$.
$S_{KNM} = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} = \frac{1}{2} \cdot (2r) \cdot r = r^2$.

Площадь $\triangle KML$: основание $KM=2r$. Высота — это расстояние от точки $L$ до прямой $x=r$. Для этого найдем $x$-координату точки $L$.
Точка $L$ — это точка касания на стороне $BC$. Радиус $OL$ перпендикулярен касательной $BC$. Найдем уравнение прямой $BC$, проходящей через $B(r(3-\sqrt{3}), 2r)$ и $C(r(3+\sqrt{3}), 0)$.
Угловой коэффициент прямой $BC$: $m_{BC} = \frac{0 - 2r}{r(3+\sqrt{3}) - r(3-\sqrt{3})} = \frac{-2r}{2r\sqrt{3}} = -\frac{1}{\sqrt{3}}$.
Угловой коэффициент перпендикулярной ей прямой $OL$: $m_{OL} = -1/m_{BC} = \sqrt{3}$.
Уравнение прямой $OL$, проходящей через $O(r,r)$: $y - r = \sqrt{3}(x-r)$.
Уравнение прямой $BC$, проходящей через $C(r(3+\sqrt{3}), 0)$: $y - 0 = -\frac{1}{\sqrt{3}}(x - r(3+\sqrt{3}))$.
Точка $L$ является точкой пересечения этих двух прямых. Приравняем выражения для $y$:
$r + \sqrt{3}(x-r) = -\frac{1}{\sqrt{3}}(x - r(3+\sqrt{3}))$
$r\sqrt{3} + 3(x-r) = -(x-r(3+\sqrt{3}))$
$r\sqrt{3} + 3x - 3r = -x + 3r + r\sqrt{3}$
$4x = 6r$
$x_L = \frac{6r}{4} = \frac{3r}{2}$.
Высота $\triangle KML$ от вершины $L$ к основанию $KM$ (на прямой $x=r$) равна $|x_L - r| = |\frac{3r}{2} - r| = \frac{r}{2}$.
$S_{KML} = \frac{1}{2} \cdot (2r) \cdot \frac{r}{2} = \frac{r^2}{2}$.

Общая площадь четырехугольника $KLMN$ равна сумме площадей треугольников:
$S_{KLMN} = S_{KNM} + S_{KML} = r^2 + \frac{r^2}{2} = \frac{3}{2}r^2$.

Найдем отношение площади трапеции к площади четырехугольника, образованного точками касания:
$\frac{S_{ABCD}}{S_{KLMN}} = \frac{6r^2}{\frac{3}{2}r^2} = \frac{6 \cdot 2}{3} = 4$.

Таким образом, площадь четырехугольника, вершинами которого являются точки касания, в 4 раза меньше площади трапеции, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что площадь четырехугольника, образованного точками касания, в 4 раза меньше площади трапеции.