Номер 9.20, страница 150 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

9.20. В окружность вписан четырехугольник $ABCD$, диагонали которого взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке $E$. Прямая, проходящая через точку $E$ и середину стороны $BC$, пересекает сторону $AD$ в точке $P$. Докажите, что $EP$ — высота треугольника $AED$.

Доказательство:

Пусть в четырехугольнике $ABCD$, вписанном в окружность, диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $E$ под прямым углом. Пусть $M$ — середина стороны $BC$. Прямая, проходящая через точки $E$ и $M$, пересекает сторону $AD$ в точке $P$. Требуется доказать, что $EP$ — высота треугольника $AED$, то есть что $EP \perp AD$.

1. Рассмотрим $\triangle BEC$. По условию, диагонали $AC$ и $BD$ перпендикулярны, следовательно, $\angle BEC = 90^\circ$. Это означает, что $\triangle BEC$ является прямоугольным треугольником, а $BC$ — его гипотенузой.

2. В прямоугольном $\triangle BEC$ отрезок $EM$ является медианой, проведенной к гипотенузе $BC$ (поскольку $M$ — середина $BC$). Согласно свойству медианы прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе, ее длина равна половине гипотенузы: $EM = \frac{1}{2}BC = BM = MC$.

3. Из равенства $EM = MC$ следует, что $\triangle EMC$ является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому $\angle MEC = \angle MCE$.

4. Углы $\angle AEP$ и $\angle MEC$ являются вертикальными, следовательно, они равны: $\angle AEP = \angle MEC$. Из этого и предыдущего пункта следует, что $\angle AEP = \angle MCE$. Угол $\angle MCE$ — это тот же угол, что и $\angle ACB$. Таким образом, получаем равенство: $\angle AEP = \angle ACB$.

5. Поскольку четырехугольник $ABCD$ вписан в окружность, вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. Углы $\angle ADB$ и $\angle ACB$ опираются на одну дугу $AB$. Следовательно, $\angle ADB = \angle ACB$.

6. Теперь рассмотрим $\triangle AED$. Так как $AC \perp BD$, то $\angle AED = 90^\circ$. В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна $90^\circ$, то есть $\angle EAD + \angle EDA = 90^\circ$.

7. Наша цель — доказать, что $EP \perp AD$, что эквивалентно $\angle APE = 90^\circ$. В $\triangle AEP$ для этого достаточно доказать, что сумма двух других углов равна $90^\circ$: $\angle PAE + \angle AEP = 90^\circ$. Угол $\angle PAE$ — это тот же угол, что и $\angle EAD$. Из пунктов 4 и 5 следует, что $\angle AEP = \angle ACB$ и $\angle ACB = \angle ADB$. Значит, $\angle AEP = \angle ADB$. Угол $\angle ADB$ — это тот же угол, что и $\angle EDA$. Таким образом, мы получили, что $\angle AEP = \angle EDA$.

8. Подставим полученное равенство $\angle AEP = \angle EDA$ в равенство из пункта 6: $\angle EAD + \angle EDA = 90^\circ$ $\angle EAD + \angle AEP = 90^\circ$

Так как $\angle EAD = \angle PAE$, то $\angle PAE + \angle AEP = 90^\circ$. Следовательно, в $\triangle AEP$ третий угол $\angle APE = 180^\circ - (\angle PAE + \angle AEP) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.

Поскольку $\angle APE = 90^\circ$, то прямая $EP$ перпендикулярна стороне $AD$. Это означает, что $EP$ является высотой треугольника $AED$.

Ответ: Утверждение доказано, $EP$ является высотой треугольника $AED$.