Номер 9.18, страница 149 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

9.18. a) Около окружности описана равнобедренная трапеция, средняя линия которой равна $m$. Найдите периметр трапеции.

б) Найдите площадь равнобедренной трапеции, описанной около окружности радиусом $r$, если ее боковая сторона равна $n$.

а)

Пусть основания равнобедренной трапеции равны $a$ и $b$, а боковые стороны равны $c$.
Периметр трапеции $P$ вычисляется как сумма длин всех ее сторон: $P = a + b + c + c = a + b + 2c$.
Средняя линия трапеции $m$ по условию равна полусумме оснований: $m = \frac{a + b}{2}$.
Отсюда следует, что сумма оснований равна $a + b = 2m$.
Так как трапеция описана около окружности, суммы ее противоположных сторон равны. Это означает, что сумма оснований равна сумме боковых сторон: $a + b = c + c = 2c$.
Теперь мы можем приравнять выражения для суммы оснований: $2m = a + b$ и $2c = a + b$. Следовательно, $2c = 2m$.
Подставим выражения для суммы оснований ($a+b=2m$) и суммы боковых сторон ($2c=2m$) в формулу периметра:
$P = (a + b) + 2c = 2m + 2m = 4m$.
Ответ: $4m$

б)

Пусть $a$ и $b$ — основания равнобедренной трапеции, $n$ — длина ее боковой стороны (по условию), а $r$ — радиус вписанной окружности (по условию).
Поскольку трапеция описана около окружности, сумма ее оснований равна сумме боковых сторон: $a + b = n + n = 2n$.
Высота $h$ трапеции, в которую вписана окружность, равна диаметру этой окружности. Диаметр, в свою очередь, равен двум радиусам, поэтому $h = 2r$.
Площадь трапеции $S$ находится по формуле: $S = \frac{a + b}{2} \cdot h$.
Подставим в формулу известные нам величины:
$S = \frac{2n}{2} \cdot (2r) = n \cdot 2r = 2nr$.
Ответ: $2nr$