Номер 9.12, страница 148 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

9.12. a) В окружность вписана трапеция, боковая сторона которой равна 15, средняя линия равна 16, а большее основание является диаметром окружности. Найдите площадь трапеции.

б) В окружность вписана трапеция, большее основание которой равно 26 и является диаметром окружности. Боковая сторона трапеции равна $\sqrt{26}$. Найдите площадь трапеции.

а)

Поскольку трапеция вписана в окружность, она является равнобедренной. Обозначим основания трапеции как $a$ и $b$ ($a > b$), боковую сторону как $c$, среднюю линию как $m$ и высоту как $h$.
Из условия задачи имеем:
Боковая сторона $c = 15$.
Средняя линия $m = 16$.
Площадь трапеции вычисляется по формуле $S = m \cdot h$. Чтобы найти площадь, нам необходимо определить высоту $h$.
Формула средней линии трапеции: $m = \frac{a+b}{2}$.
Подставив известное значение, получаем: $16 = \frac{a+b}{2}$, откуда сумма оснований $a+b = 32$.
В равнобедренной трапеции, если опустить высоту $h$ из вершины меньшего основания на большее, образуется прямоугольный треугольник с гипотенузой $c$ (боковая сторона) и катетами $h$ и $\frac{a-b}{2}$. По теореме Пифагора: $h^2 + (\frac{a-b}{2})^2 = c^2$.
$h^2 + (\frac{a-b}{2})^2 = 15^2 = 225$.
По условию, большее основание $a$ является диаметром окружности. Пусть $R$ — радиус окружности, тогда $a = 2R$. Проведем радиус из центра окружности $O$ (который является серединой основания $a$) к вершине трапеции на меньшем основании. Получим прямоугольный треугольник с гипотенузой $R$, одним катетом $h$ и другим катетом, равным половине меньшего основания, $\frac{b}{2}$. По теореме Пифагора: $h^2 + (\frac{b}{2})^2 = R^2$. Так как $R = \frac{a}{2}$, то $h^2 + (\frac{b}{2})^2 = (\frac{a}{2})^2$.
Из последнего уравнения выразим $h^2$: $h^2 = (\frac{a}{2})^2 - (\frac{b}{2})^2 = \frac{a^2 - b^2}{4} = \frac{(a-b)(a+b)}{4}$.
Мы знаем, что $a+b=32$, поэтому $h^2 = \frac{(a-b) \cdot 32}{4} = 8(a-b)$.
Теперь подставим это выражение для $h^2$ в первое уравнение Пифагора:
$8(a-b) + \frac{(a-b)^2}{4} = 225$.
Пусть $x = a-b$. Уравнение примет вид: $8x + \frac{x^2}{4} = 225$.
Умножим обе части на 4, чтобы избавиться от дроби: $32x + x^2 = 900$.
$x^2 + 32x - 900 = 0$.
Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
$D = 32^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-900) = 1024 + 3600 = 4624 = 68^2$.
$x_1 = \frac{-32 + 68}{2} = \frac{36}{2} = 18$.
$x_2 = \frac{-32 - 68}{2} = -50$. Так как $x=a-b$ и $a>b$, $x$ должен быть положительным, поэтому $x = 18$.
Итак, $a-b = 18$.
Теперь мы можем найти высоту $h$: $h^2 = 8(a-b) = 8 \cdot 18 = 144$, откуда $h = \sqrt{144} = 12$.
Наконец, находим площадь трапеции: $S = m \cdot h = 16 \cdot 12 = 192$.
Ответ: 192.

б)

Трапеция, вписанная в окружность, является равнобедренной. Обозначим основания трапеции как $a$ и $b$ ($a > b$), боковую сторону как $c$ и высоту как $h$.
Из условия задачи имеем:
Большее основание $a = 26$.
Боковая сторона $c = \sqrt{26}$.
Большее основание является диаметром, следовательно, радиус окружности $R = \frac{a}{2} = \frac{26}{2} = 13$.
Площадь трапеции вычисляется по формуле $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$. Нам нужно найти $b$ и $h$.
Как и в предыдущей задаче, используем два прямоугольных треугольника.
1. Треугольник, образованный высотой $h$, боковой стороной $c$ и отрезком $\frac{a-b}{2}$:
$h^2 + (\frac{a-b}{2})^2 = c^2$.
$h^2 + (\frac{26-b}{2})^2 = (\sqrt{26})^2 = 26$.
2. Треугольник, образованный высотой $h$, радиусом $R$ (как гипотенузой) и отрезком $\frac{b}{2}$:
$h^2 + (\frac{b}{2})^2 = R^2$.
$h^2 + (\frac{b}{2})^2 = 13^2 = 169$.
Из второго уравнения выразим $h^2$: $h^2 = 169 - (\frac{b}{2})^2$.
Подставим это выражение в первое уравнение:
$(169 - (\frac{b}{2})^2) + (\frac{26-b}{2})^2 = 26$.
$169 - \frac{b^2}{4} + \frac{26^2 - 2 \cdot 26 \cdot b + b^2}{4} = 26$.
$169 - \frac{b^2}{4} + \frac{676 - 52b + b^2}{4} = 26$.
Умножим обе части уравнения на 4:
$169 \cdot 4 - b^2 + 676 - 52b + b^2 = 26 \cdot 4$.
$676 - b^2 + 676 - 52b + b^2 = 104$.
$1352 - 52b = 104$.
$1352 - 104 = 52b$.
$1248 = 52b$.
$b = \frac{1248}{52} = 24$.
Теперь найдем высоту $h$, используя $h^2 = 169 - (\frac{b}{2})^2$:
$h^2 = 169 - (\frac{24}{2})^2 = 169 - 12^2 = 169 - 144 = 25$.
$h = \sqrt{25} = 5$.
Теперь можем вычислить площадь трапеции:
$S = \frac{a+b}{2} \cdot h = \frac{26+24}{2} \cdot 5 = \frac{50}{2} \cdot 5 = 25 \cdot 5 = 125$.
Ответ: 125.