Номер 9.10, страница 147 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

9.10. a) Площадь ромба равна 120. Диагонали ромба относятся как $5 : 12$. Найдите радиус вписанной в ромб окружности.

б) Периметр ромба равен 40. Диагонали относятся как $3 : 4$. Найдите радиус вписанной в ромб окружности.

а)

Пусть диагонали ромба равны $d_1$ и $d_2$. По условию, площадь ромба $S = 120$, а отношение диагоналей $d_1 : d_2 = 5 : 12$.
Обозначим диагонали как $d_1 = 5x$ и $d_2 = 12x$, где $x$ – коэффициент пропорциональности.
Площадь ромба вычисляется по формуле: $S = \frac{1}{2} d_1 d_2$.
Подставим известные значения в формулу:
$120 = \frac{1}{2} (5x)(12x)$
$120 = \frac{1}{2} \cdot 60x^2$
$120 = 30x^2$
$x^2 = \frac{120}{30} = 4$
$x = 2$ (так как длина не может быть отрицательной).
Теперь найдем длины диагоналей:
$d_1 = 5 \cdot 2 = 10$
$d_2 = 12 \cdot 2 = 24$
Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся точкой пересечения пополам. Сторону ромба $a$ можно найти по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника, катетами которого являются половины диагоналей $(\frac{d_1}{2}$ и $\frac{d_2}{2})$, а гипотенузой – сторона ромба.
$a^2 = (\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2 = (\frac{10}{2})^2 + (\frac{24}{2})^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$
$a = \sqrt{169} = 13$.
Площадь ромба также можно выразить через сторону и высоту $h$: $S = a \cdot h$. Высота ромба связана с радиусом вписанной окружности $r$ соотношением $h = 2r$.
Следовательно, $S = a \cdot (2r)$.
Подставим известные значения $S$ и $a$, чтобы найти $r$:
$120 = 13 \cdot 2r$
$120 = 26r$
$r = \frac{120}{26} = \frac{60}{13}$.
Ответ: $\frac{60}{13}$.

б)

Пусть периметр ромба $P = 40$. Периметр ромба вычисляется по формуле $P = 4a$, где $a$ – сторона ромба.
$40 = 4a \implies a = 10$.
По условию, диагонали ромба $d_1$ и $d_2$ относятся как $3 : 4$. Обозначим их как $d_1 = 3x$ и $d_2 = 4x$, где $x$ – коэффициент пропорциональности.
Используем теорему Пифагора для связи стороны и диагоналей:
$a^2 = (\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2$
$10^2 = (\frac{3x}{2})^2 + (\frac{4x}{2})^2$
$100 = \frac{9x^2}{4} + \frac{16x^2}{4}$
$100 = \frac{25x^2}{4}$
$400 = 25x^2$
$x^2 = \frac{400}{25} = 16$
$x = 4$.
Найдем длины диагоналей:
$d_1 = 3 \cdot 4 = 12$
$d_2 = 4 \cdot 4 = 16$
Теперь найдем площадь ромба:
$S = \frac{1}{2} d_1 d_2 = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 16 = 96$.
Радиус вписанной окружности $r$ связан с площадью и стороной формулой $S = a \cdot h = a \cdot (2r)$.
$96 = 10 \cdot 2r$
$96 = 20r$
$r = \frac{96}{20} = \frac{24}{5} = 4.8$.
Ответ: $4.8$.