Номер 9.4, страница 146 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

9.4. a) Серединные перпендикуляры ко всем сторонам выпуклого четырехугольника $ABCP$ пересекаются в точке $O$. Расстояние от точки $O$ до стороны $BC$ в два раза меньше стороны $BC$, а расстояние от точки $O$ до стороны $AB$ в $2\sqrt{3}$ раза меньше стороны $AB$. Найдите величину угла $APC$.

б) Серединные перпендикуляры ко всем сторонам выпуклого четырехугольника $ABCM$ пересекаются в точке $O$. Отношение расстояния от точки $O$ до прямой $AB$ к расстоянию от точки $O$ до прямой $BC$ равно $\sqrt{3}:1$. Найдите величину угла $BAC$, если угол $AMC$ равен $90^\circ$.

а)

Поскольку серединные перпендикуляры ко всем сторонам выпуклого четырехугольника $ABCP$ пересекаются в одной точке $O$, этот четырехугольник является вписанным в окружность. Точка $O$ — центр этой окружности, а отрезки $OA, OB, OC, OP$ — ее радиусы, $R$. Таким образом, $OA = OB = OC = OP = R$.

Рассмотрим равнобедренный треугольник $OBC$ ($OB = OC = R$). Расстояние от точки $O$ до стороны $BC$ — это длина высоты $OK$, опущенной на $BC$. В равнобедренном треугольнике высота является также медианой, поэтому $K$ — середина $BC$, и $BK = KC = \frac{1}{2}BC$.

По условию, расстояние от точки $O$ до стороны $BC$ в два раза меньше стороны $BC$, то есть $OK = \frac{1}{2}BC$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $OKC$. В нем катеты $OK$ и $KC$ равны: $OK = KC = \frac{1}{2}BC$. Найдем тангенс угла $KOC$:

$\tan(\angle KOC) = \frac{KC}{OK} = \frac{\frac{1}{2}BC}{\frac{1}{2}BC} = 1$

Следовательно, $\angle KOC = 45°$.

Так как $OK$ является и биссектрисой угла $BOC$, то центральный угол $BOC$ равен $2 \cdot \angle KOC = 2 \cdot 45° = 90°$.

Угол $BPC$ является вписанным углом, опирающимся на дугу $BC$. Его величина равна половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу:

$\angle BPC = \frac{1}{2}\angle BOC = \frac{1}{2} \cdot 90° = 45°$.

Теперь рассмотрим равнобедренный треугольник $OAB$ ($OA = OB = R$). Расстояние от точки $O$ до стороны $AB$ — это длина высоты $OH$, опущенной на $AB$. $H$ — середина $AB$, и $AH = HB = \frac{1}{2}AB$.

По условию, расстояние от точки $O$ до стороны $AB$ в $2\sqrt{3}$ раза меньше стороны $AB$, то есть $OH = \frac{AB}{2\sqrt{3}}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $OHA$. Найдем тангенс угла $AOH$:

$\tan(\angle AOH) = \frac{AH}{OH} = \frac{\frac{1}{2}AB}{\frac{AB}{2\sqrt{3}}} = \frac{1}{2}AB \cdot \frac{2\sqrt{3}}{AB} = \sqrt{3}$

Следовательно, $\angle AOH = 60°$.

Так как $OH$ является и биссектрисой угла $AOB$, то центральный угол $AOB$ равен $2 \cdot \angle AOH = 2 \cdot 60° = 120°$.

Угол $APB$ является вписанным углом, опирающимся на дугу $AB$. Его величина равна половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу:

$\angle APB = \frac{1}{2}\angle AOB = \frac{1}{2} \cdot 120° = 60°$.

Искомый угол $APC$ является суммой углов $APB$ и $BPC$:

$\angle APC = \angle APB + \angle BPC = 60° + 45° = 105°$.

Ответ: $105°$.

б)

Так как серединные перпендикуляры ко всем сторонам выпуклого четырехугольника $ABCM$ пересекаются в точке $O$, то этот четырехугольник вписан в окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R$.

Угол $AMC$ является вписанным в эту окружность. По условию, $\angle AMC = 90°$. Вписанный угол равен $90°$ тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр. Следовательно, хорда $AC$ является диаметром окружности.

Поскольку $AC$ — диаметр, центр окружности $O$ лежит на отрезке $AC$. Это означает, что точки $A$, $O$, $C$ лежат на одной прямой, и центральный угол $AOC$ является развернутым, то есть $\angle AOC = 180°$. Также из этого следует, что $\angle AOB + \angle BOC = \angle AOC = 180°$.

Пусть $d_{AB}$ — расстояние от точки $O$ до прямой $AB$, и $d_{BC}$ — расстояние от точки $O$ до прямой $BC$. По условию, $\frac{d_{AB}}{d_{BC}} = \frac{\sqrt{3}}{1}$.

Рассмотрим равнобедренный треугольник $OAB$ ($OA = OB = R$). Расстояние $d_{AB}$ — это длина высоты $OH$, опущенной из $O$ на $AB$. В прямоугольном треугольнике $OBH$ имеем $d_{AB} = OH = OB \cdot \cos(\angle BOH) = R \cdot \cos(\frac{\angle AOB}{2})$.

Аналогично, в равнобедренном треугольнике $OBC$ ($OB = OC = R$) расстояние $d_{BC}$ — это длина высоты $OK$, опущенной из $O$ на $BC$. В прямоугольном треугольнике $OBK$ имеем $d_{BC} = OK = OB \cdot \cos(\angle BOK) = R \cdot \cos(\frac{\angle BOC}{2})$.

Подставим эти выражения в заданное отношение:

$\frac{R \cdot \cos(\frac{\angle AOB}{2})}{R \cdot \cos(\frac{\angle BOC}{2})} = \sqrt{3}$

$\cos(\frac{\angle AOB}{2}) = \sqrt{3} \cos(\frac{\angle BOC}{2})$

Мы знаем, что $\angle AOB + \angle BOC = 180°$, откуда $\frac{\angle AOB}{2} = \frac{180° - \angle BOC}{2} = 90° - \frac{\angle BOC}{2}$.

Подставим это в предыдущее уравнение:

$\cos(90° - \frac{\angle BOC}{2}) = \sqrt{3} \cos(\frac{\angle BOC}{2})$

Используя формулу приведения $\cos(90° - \alpha) = \sin(\alpha)$, получаем:

$\sin(\frac{\angle BOC}{2}) = \sqrt{3} \cos(\frac{\angle BOC}{2})$

Разделив обе части на $\cos(\frac{\angle BOC}{2})$ (который не равен нулю, так как $\angle BOC < 180°$), получим:

$\tan(\frac{\angle BOC}{2}) = \sqrt{3}$

Отсюда следует, что $\frac{\angle BOC}{2} = 60°$, а значит $\angle BOC = 120°$.

Искомый угол $BAC$ — это вписанный угол, опирающийся на дугу $BC$. Его величина равна половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу:

$\angle BAC = \frac{1}{2}\angle BOC = \frac{1}{2} \cdot 120° = 60°$.

Ответ: $60°$.