Номер 9.3, страница 145 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

9.3. a) Площадь прямоугольника равна $16\sqrt{2}$, а угол между диагоналями прямоугольника равен $45^\circ$. Найдите радиус описанной около прямоугольника окружности.

б) Угол между диагональю прямоугольника и одной из его сторон равен $67,5^\circ$. Найдите диаметр описанной около прямоугольника окружности, если площадь прямоугольника равна $25\sqrt{2}$.

а)

Площадь выпуклого четырехугольника может быть выражена через его диагонали $d_1$, $d_2$ и угол $\alpha$ между ними по формуле: $S = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin\alpha$.

В прямоугольнике диагонали равны ($d_1 = d_2 = d$), поэтому формула для площади прямоугольника принимает вид: $S = \frac{1}{2} d^2 \sin\alpha$.

По условию задачи, площадь $S = 16\sqrt{2}$, а угол между диагоналями $\alpha = 45^\circ$. Подставим эти значения в формулу:

$16\sqrt{2} = \frac{1}{2} d^2 \sin 45^\circ$

Зная, что $\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем:

$16\sqrt{2} = \frac{1}{2} d^2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

$16\sqrt{2} = \frac{d^2 \sqrt{2}}{4}$

Разделим обе части уравнения на $\sqrt{2}$:

$16 = \frac{d^2}{4}$

Отсюда находим квадрат диагонали:

$d^2 = 16 \cdot 4 = 64$

$d = \sqrt{64} = 8$

Диагональ прямоугольника является диаметром описанной около него окружности. Радиус описанной окружности $R$ равен половине диагонали:

$R = \frac{d}{2} = \frac{8}{2} = 4$

Ответ: 4.

б)

Пусть дан прямоугольник $ABCD$, диагонали которого пересекаются в точке $O$. Угол между диагональю $AC$ и стороной $AD$ равен $\angle CAD = 67,5^\circ$.

Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам, поэтому треугольник $\triangle AOD$ является равнобедренным ($AO = DO$). В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Основанием является сторона $AD$. Следовательно, нам нужно найти углы $\angle OAD$ и $\angle ODA$.

В прямоугольнике $ABCD$ треугольник $\triangle ADC$ — прямоугольный ($\angle D = 90^\circ$). Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90^\circ$. Значит, $\angle ACD = 90^\circ - \angle CAD = 90^\circ - 67,5^\circ = 22,5^\circ$.

Рассмотрим равнобедренный треугольник $\triangle COD$ (так как $CO=DO$). Углы при основании $CD$ равны: $\angle ODC = \angle OCD = 22,5^\circ$.

Угол $\angle ADC$ состоит из двух углов: $\angle ADO$ и $\angle ODC$. Тогда $\angle ADO = \angle ADC - \angle ODC = 90^\circ - 22,5^\circ = 67,5^\circ$.

Таким образом, в треугольнике $\triangle AOD$ углы при основании равны $\angle OAD = 67,5^\circ$ и $\angle ODA = 67,5^\circ$. Угол между диагоналями $\alpha = \angle AOD$ равен:

$\alpha = 180^\circ - (\angle OAD + \angle ODA) = 180^\circ - (67,5^\circ + 67,5^\circ) = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ$.

Теперь, зная угол между диагоналями и площадь прямоугольника $S = 25\sqrt{2}$, найдем диагональ $d$ по формуле $S = \frac{1}{2} d^2 \sin\alpha$:

$25\sqrt{2} = \frac{1}{2} d^2 \sin 45^\circ$

$25\sqrt{2} = \frac{1}{2} d^2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

$25\sqrt{2} = \frac{d^2 \sqrt{2}}{4}$

$25 = \frac{d^2}{4}$

$d^2 = 100$

$d = \sqrt{100} = 10$

Диаметр описанной около прямоугольника окружности равен его диагонали. Следовательно, диаметр равен 10.

Ответ: 10.