Номер 8.9, страница 144 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

8.9. a) O — центр окружности, вписанной в прямоугольный треугольник $ABC$. Площадь треугольника $OBA$ равна 10. Отношение радиуса вписанной окружности к высоте треугольника $ABC$, проведенной к гипотенузе $AB$, равно $\frac{5}{12}$. Найдите площадь треугольника $ABC$.

b) O — центр окружности, вписанной в треугольник $ABC$. Площади треугольников $OAB$, $OAC$, $OBC$ относятся как $5 : 3 : 4$. Найдите площадь треугольника $ABC$, если радиус описанной около него окружности равен 20.

а)

Пусть $ABC$ — прямоугольный треугольник с гипотенузой $AB=c$ и катетами $AC=b$ и $BC=a$. $O$ — центр вписанной окружности, $r$ — её радиус. Площадь треугольника $OAB$ вычисляется по формуле $S_{OAB} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot r$.

По условию, $S_{OAB} = 10$, следовательно:

$\frac{1}{2} \cdot c \cdot r = 10$

$c \cdot r = 20$

Пусть $h_c$ — высота треугольника $ABC$, проведенная к гипотенузе $AB$. Площадь треугольника $ABC$ можно выразить как $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h_c$.

По условию, отношение радиуса вписанной окружности к высоте, проведенной к гипотенузе, равно $\frac{5}{12}$:

$\frac{r}{h_c} = \frac{5}{12}$

Отсюда выразим высоту $h_c$ через радиус $r$:

$h_c = \frac{12}{5}r$

Теперь подставим это выражение в формулу для площади треугольника $ABC$:

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h_c = \frac{1}{2} \cdot c \cdot \left(\frac{12}{5}r\right) = \frac{6}{5} \cdot (c \cdot r)$

Мы уже знаем, что $c \cdot r = 20$. Подставим это значение в полученное выражение:

$S_{ABC} = \frac{6}{5} \cdot 20 = 6 \cdot 4 = 24$

Ответ: 24.

б)

Пусть стороны треугольника $ABC$ равны $a, b, c$ (где $a=BC, b=AC, c=AB$), $r$ — радиус вписанной окружности, $O$ — её центр.

Площади треугольников $OAB, OAC, OBC$ вычисляются по формулам:

$S_{OAB} = \frac{1}{2}cr, \quad S_{OAC} = \frac{1}{2}br, \quad S_{OBC} = \frac{1}{2}ar$

По условию, площади этих треугольников относятся как $5 : 3 : 4$:

$S_{OAB} : S_{OAC} : S_{OBC} = 5 : 3 : 4$

Подставим формулы площадей в это соотношение:

$\frac{1}{2}cr : \frac{1}{2}br : \frac{1}{2}ar = 5 : 3 : 4$

Сократив на общий множитель $\frac{1}{2}r$, получим соотношение между сторонами треугольника:

$c : b : a = 5 : 3 : 4$

Это означает, что стороны треугольника пропорциональны числам 3, 4 и 5. Пусть $a=4k, b=3k, c=5k$ для некоторого коэффициента $k>0$.

Проверим, является ли этот треугольник прямоугольным, по теореме Пифагора:

$a^2 + b^2 = (4k)^2 + (3k)^2 = 16k^2 + 9k^2 = 25k^2$

$c^2 = (5k)^2 = 25k^2$

Поскольку $a^2 + b^2 = c^2$, треугольник $ABC$ является прямоугольным, а сторона $c$ — его гипотенуза.

Радиус $R$ описанной около прямоугольного треугольника окружности равен половине его гипотенузы: $R = \frac{c}{2}$.

По условию, $R = 20$. Найдем длину гипотенузы:

$c = 2R = 2 \cdot 20 = 40$

Теперь найдем коэффициент $k$:

$c = 5k \implies 40 = 5k \implies k = 8$

Вычислим длины катетов:

$a = 4k = 4 \cdot 8 = 32$

$b = 3k = 3 \cdot 8 = 24$

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:

$S_{ABC} = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2} \cdot 32 \cdot 24 = 16 \cdot 24 = 384$

Ответ: 384.