Номер 8.2, страница 142 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

8.2. Окружность с центром $O$ радиусом $r$ вписана в треугольник ABC. По данным рисунков 227, а)—г) найдите длины неизвестных отрезков.

а) $5\sqrt{2}$

$13\sqrt{2}$

$O$

б) $25$

$O$

$3$

в) $2$

$O$

$\sqrt{2}$

г) $tg\angle C = \frac{3}{4}$

$O$

$20$

Рис. 227

а)

В данном прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C известны катет $AC = 5\sqrt{2}$ и гипотенуза $AB = 13\sqrt{2}$. Неизвестной величиной является радиус вписанной окружности $r$.

Сначала найдем длину второго катета BC по теореме Пифагора: $AC^2 + BC^2 = AB^2$.

$BC^2 = AB^2 - AC^2 = (13\sqrt{2})^2 - (5\sqrt{2})^2 = 169 \cdot 2 - 25 \cdot 2 = 338 - 50 = 288$.

$BC = \sqrt{288} = \sqrt{144 \cdot 2} = 12\sqrt{2}$.

Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, можно найти по формуле $r = \frac{a+b-c}{2}$, где $a$ и $b$ — катеты, а $c$ — гипотенуза.

$r = \frac{AC + BC - AB}{2} = \frac{5\sqrt{2} + 12\sqrt{2} - 13\sqrt{2}}{2} = \frac{17\sqrt{2} - 13\sqrt{2}}{2} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$.

Ответ: $2\sqrt{2}$.

б)

В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом B известны гипотенуза $AC = 25$ и радиус вписанной окружности $r=3$. Неизвестными являются катеты AB и BC.

Пусть точки касания окружности со сторонами AB, BC и AC — это L, K и M соответственно. Так как угол B прямой, четырехугольник BKOL (где O — центр окружности) является квадратом, и его стороны равны радиусу, то есть $BK = BL = r = 3$.

По свойству касательных, проведенных из одной вершины, $AL = AM$ и $CK = CM$.

Обозначим $CK = x$, тогда и $CM = x$.

Длина гипотенузы $AC = AM + CM$. Отсюда $AM = AC - CM = 25 - x$. Следовательно, $AL = 25 - x$.

Теперь выразим длины катетов через $x$:

$BC = BK + KC = 3 + x$.

$AB = BL + LA = 3 + (25 - x) = 28 - x$.

Применим теорему Пифагора $AB^2 + BC^2 = AC^2$:

$(28 - x)^2 + (3 + x)^2 = 25^2$

$784 - 56x + x^2 + 9 + 6x + x^2 = 625$

$2x^2 - 50x + 793 = 625$

$2x^2 - 50x + 168 = 0$

$x^2 - 25x + 84 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-25)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 84 = 625 - 336 = 289 = 17^2$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{25 + 17}{2} = 21$ и $x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{25 - 17}{2} = 4$.

Если $x=21$, то $BC = 3 + 21 = 24$ и $AB = 28 - 21 = 7$.

Если $x=4$, то $BC = 3 + 4 = 7$ и $AB = 28 - 4 = 24$.

В обоих случаях длины катетов равны 7 и 24.

Ответ: длины неизвестных отрезков (катетов) равны 7 и 24.

в)

В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C известны радиус вписанной окружности $r = \sqrt{2}$ (сторона квадрата, образованного радиусами к катетам) и длина отрезка касательной от вершины A, равная 2. Неизвестной является гипотенуза AB.

Пусть K, M, N — точки касания окружности со сторонами AC, BC, AB соответственно. Из условия $r = \sqrt{2}$, значит $CK = CM = \sqrt{2}$. Также дано $AK = 2$.

По свойству касательных, проведенных из одной вершины: $AN = AK = 2$.

Найдем длину катета $AC = AK + KC = 2 + \sqrt{2}$.

Пусть $BM = x$. Тогда $BN = BM = x$.

Катет $BC = CM + MB = \sqrt{2} + x$.

Гипотенуза $AB = AN + NB = 2 + x$.

Применим теорему Пифагора $AC^2 + BC^2 = AB^2$:

$(2 + \sqrt{2})^2 + (\sqrt{2} + x)^2 = (2 + x)^2$

$(4 + 4\sqrt{2} + 2) + (2 + 2x\sqrt{2} + x^2) = 4 + 4x + x^2$

$8 + 4\sqrt{2} + 2x\sqrt{2} = 4 + 4x$

$4x - 2x\sqrt{2} = 8 + 4\sqrt{2} - 4$

$x(4 - 2\sqrt{2}) = 4 + 4\sqrt{2}$

$x = \frac{4 + 4\sqrt{2}}{4 - 2\sqrt{2}} = \frac{2(2 + 2\sqrt{2})}{2(2 - \sqrt{2})} = \frac{2 + 2\sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}}$

Домножим числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю выражение $(2 + \sqrt{2})$:

$x = \frac{(2 + 2\sqrt{2})(2 + \sqrt{2})}{(2 - \sqrt{2})(2 + \sqrt{2})} = \frac{4 + 2\sqrt{2} + 4\sqrt{2} + 4}{4 - 2} = \frac{8 + 6\sqrt{2}}{2} = 4 + 3\sqrt{2}$.

Мы нашли $BM = x = 4 + 3\sqrt{2}$.

Искомая гипотенуза $AB = 2 + x = 2 + (4 + 3\sqrt{2}) = 6 + 3\sqrt{2}$.

Ответ: $6 + 3\sqrt{2}$.

г)

В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом A известны гипотенуза $BC=20$ и тангенс угла C, $\tg(\angle C) = \frac{3}{4}$. Неизвестной величиной является радиус вписанной окружности $r$.

Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к прилежащему: $\tg(\angle C) = \frac{AB}{AC} = \frac{3}{4}$.

Пусть $AB = 3k$ и $AC = 4k$, где $k$ — коэффициент пропорциональности.

По теореме Пифагора $AB^2 + AC^2 = BC^2$:

$(3k)^2 + (4k)^2 = 20^2$

$9k^2 + 16k^2 = 400$

$25k^2 = 400$

$k^2 = 16$, откуда $k=4$ (так как длина стороны положительна).

Найдем длины катетов:

$AB = 3k = 3 \cdot 4 = 12$.

$AC = 4k = 4 \cdot 4 = 16$.

Для нахождения радиуса вписанной в прямоугольный треугольник окружности воспользуемся формулой $r = \frac{a+b-c}{2}$:

$r = \frac{AB + AC - BC}{2} = \frac{12 + 16 - 20}{2} = \frac{28 - 20}{2} = \frac{8}{2} = 4$.

Ответ: 4.