Номер 7.13, страница 140 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

7.13. a) O — центр вписанной в треугольник ABC окружности. $AB : BC : AC = 2 : 3 : 4$. Площадь треугольника AOB равна 24. Найдите площади треугольников BOC и AOC.

б) Окружность с центром O и радиусом $\frac{\sqrt{15}}{3}$ вписана в треугольник ABC, в котором $AB : BC : AC = 2 : 3 : 4$. Площадь треугольника AOB равна $\frac{2\sqrt{15}}{3}$. Найдите стороны BC и AC.

а)

Пусть $O$ — центр вписанной в треугольник $ABC$ окружности, а $r$ — радиус этой окружности. Центр вписанной окружности равноудален от сторон треугольника, и это расстояние равно радиусу $r$.

Площадь треугольника можно вычислить как половину произведения его основания на высоту. Рассмотрим треугольники $AOB$, $BOC$ и $AOC$. Высота каждого из этих треугольников, проведенная из вершины $O$, равна радиусу вписанной окружности $r$.

Площади этих треугольников равны:
$S_{AOB} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot r$
$S_{BOC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot r$
$S_{AOC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot r$

Из этих формул следует, что площади треугольников $AOB$, $BOC$ и $AOC$ относятся так же, как и длины соответствующих сторон $AB$, $BC$ и $AC$:
$S_{AOB} : S_{BOC} : S_{AOC} = (\frac{1}{2} \cdot AB \cdot r) : (\frac{1}{2} \cdot BC \cdot r) : (\frac{1}{2} \cdot AC \cdot r) = AB : BC : AC$.

По условию задачи, $AB : BC : AC = 2 : 3 : 4$. Следовательно, и площади относятся так же:
$S_{AOB} : S_{BOC} : S_{AOC} = 2 : 3 : 4$.

Нам дана площадь треугольника $AOB$: $S_{AOB} = 24$. Используя эту пропорцию, найдем площади треугольников $BOC$ и $AOC$.
Из соотношения $\frac{S_{BOC}}{S_{AOB}} = \frac{3}{2}$ следует:
$S_{BOC} = \frac{3}{2} S_{AOB} = \frac{3}{2} \cdot 24 = 36$.

Из соотношения $\frac{S_{AOC}}{S_{AOB}} = \frac{4}{2} = 2$ следует:
$S_{AOC} = 2 \cdot S_{AOB} = 2 \cdot 24 = 48$.

Ответ: $S_{BOC} = 36$, $S_{AOC} = 48$.

б)

Аналогично пункту а), площадь треугольника $AOB$ вычисляется по формуле $S_{AOB} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot r$, где $r$ — радиус вписанной окружности.

По условию, радиус $r = \frac{\sqrt{15}}{3}$ и площадь $S_{AOB} = \frac{2\sqrt{15}}{3}$. Подставим эти значения в формулу, чтобы найти длину стороны $AB$:
$\frac{2\sqrt{15}}{3} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot \frac{\sqrt{15}}{3}$

Решим уравнение относительно $AB$:
$\frac{2\sqrt{15}}{3} = \frac{AB \cdot \sqrt{15}}{6}$
Умножим обе части на 6:
$2 \cdot 2\sqrt{15} = AB \cdot \sqrt{15}$
$4\sqrt{15} = AB \cdot \sqrt{15}$
$AB = 4$.

В условии дано соотношение сторон треугольника $ABC$: $AB : BC : AC = 2 : 3 : 4$. Зная, что $AB = 4$, мы можем найти длины сторон $BC$ и $AC$ из пропорции:
$\frac{BC}{AB} = \frac{3}{2} \Rightarrow BC = \frac{3}{2} \cdot 4 = 6$
$\frac{AC}{AB} = \frac{4}{2} = 2 \Rightarrow AC = 2 \cdot 4 = 8$

Ответ: $BC = 6$, $AC = 8$.