Номер 7.12, страница 140 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

7.12. a) Около треугольника ABC ($ \angle A = 45^\circ $) описана окружность с центром O. Расстояние от точки O до стороны BC равно 15 см. Найдите радиус описанной окружности.

б) Около треугольника ABC ($ \angle A = 45^\circ $) описана окружность с центром O. Площадь треугольника BOC равна 10 см². Найдите радиус описанной окружности.

а)

Пусть $R$ — радиус описанной окружности с центром в точке $O$. Тогда отрезки $OB$ и $OC$ являются радиусами, то есть $OB = OC = R$. Следовательно, треугольник $BOC$ является равнобедренным.

Угол $BOC$ является центральным углом, опирающимся на ту же дугу $BC$, что и вписанный угол $A$. Величина центрального угла в два раза больше величины вписанного угла, опирающегося на ту же дугу.

Так как $\angle A = 45^{\circ}$, то $\angle BOC = 2 \cdot \angle A = 2 \cdot 45^{\circ} = 90^{\circ}$.

Расстояние от точки $O$ до стороны $BC$ — это длина перпендикуляра $OH$, опущенного из точки $O$ на сторону $BC$. По условию, $OH = 15$ см.

В равнобедренном треугольнике $BOC$ высота $OH$ является также биссектрисой и медианой. Рассмотрим прямоугольный треугольник $OHC$. Так как $OH$ — биссектриса, то $\angle HOC = \frac{1}{2} \angle BOC = \frac{1}{2} \cdot 90^{\circ} = 45^{\circ}$.

В прямоугольном треугольнике $OHC$ катет $OH$ и гипотенуза $OC$ (которая является радиусом $R$) связаны соотношением:

$\cos(\angle HOC) = \frac{OH}{OC}$

Отсюда находим радиус $R$:

$R = OC = \frac{OH}{\cos(45^{\circ})} = \frac{15}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{30}{\sqrt{2}} = 15\sqrt{2}$ см.

Ответ: $15\sqrt{2}$ см.

б)

Как и в предыдущем пункте, рассмотрим треугольник $BOC$. Он является равнобедренным, так как $OB = OC = R$ (радиусы описанной окружности). Центральный угол $\angle BOC$ связан с вписанным углом $\angle A$ соотношением $\angle BOC = 2 \cdot \angle A$.

При $\angle A = 45^{\circ}$ получаем $\angle BOC = 2 \cdot 45^{\circ} = 90^{\circ}$.

Площадь треугольника можно найти по формуле: $S = \frac{1}{2}ab \sin \gamma$, где $a$ и $b$ — стороны треугольника, а $\gamma$ — угол между ними.

Применительно к треугольнику $BOC$:

$S_{BOC} = \frac{1}{2} \cdot OB \cdot OC \cdot \sin(\angle BOC)$

Подставим известные значения: $S_{BOC} = 10$ см², $OB = OC = R$ и $\angle BOC = 90^{\circ}$.

$10 = \frac{1}{2} \cdot R \cdot R \cdot \sin(90^{\circ})$

Поскольку $\sin(90^{\circ}) = 1$, получаем:

$10 = \frac{1}{2} R^2$

$R^2 = 20$

$R = \sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}$ см.

Ответ: $2\sqrt{5}$ см.